Matematica

In questo testo, partendo dalla geometria euclidea, attraverso un calcolo puramente geometrico tra punti, si ottengono i numeri (dai naturali ai complessi) per astrazione da oggetti geometrici, e in più tutto il nucleo della matematica, immutabile, al di là dei diversi paradigmi succedutisi nel corso della sua storia. Il percorso individuato è fondato su motivazioni storiche ed è aderente ai recenti sviluppi delle scienze cognitive.

In questa trattazione viene proposto un percorso dinamico attraverso il quale classici concetti dell'Analisi matematica vengono fatti risalire a proprietà individuabili nelle funzioni elementari. Al di là del proposito fondativo, basato su ragioni epistemologiche e storiche, lo scopo di questa esposizione è quello di sviluppare una teoria più semplice e naturale, risultato che si ritiene si possa ottenere evidenziando le proprietà geometriche e analitiche dei grafici delle funzioni elementari.

Questo libro è stato realizzato nell'ambito del Progetto Lauree Scientifiche, ideato allo scopo di migliorare il rapporto degli studenti con le materie scientifiche di base. Il lavoro presenta alcuni concetti fondamentali nell'Algebra classica e moderna, e si propone di evidenziare le potenzialità teoriche e applicative piuttosto che gli aspetti di descrizione formale e astrazione. Gli argomenti sono stati scelti e trattati proprio in relazione all'istanza di avvicinare i ragazzi ad aspetti della matematica coinvolgenti e ricchi di fascino, di elevata valenza culturale ed estetica, e nel contempo sono adatti a fornire strumenti e conoscenze a chi si appresti a seguire studi di tipo scientifico.

Il manuale propone circa duecento esercizi di meccanica, da svolgersi utilizzando il formalismo lagrangiano e quello hamiltoniano. Al primo appartengono esercizi sui sistemi vincolati discerti (in modo fisso o mobile) da studiare qualitativamente nel caso di uno e due gradi di libertà, qualche esercizio sul moto in un campo centrale e sui sistemi rigidi. In ambito hamiltoniano si elencano esercizi che coinvolgono le principali nozioni formali (sistemi hamiltoniani, trasformazioni canoniche, funzioni generatrici, equazione di Hamilton-Jacobi). Qualche esercizio di meccanica statistica chiude la raccolta. A ciascun esercizio è abbinata una traccia della risoluzione. Una breve introduzione a ciascuna sezione raccoglie le principali nozioni teoriche per affrontare gli esercizi.

La progressiva riduzione del tempo dedicato alla didattica frontale delle materie scientifiche assieme alla evoluzione veloce dei programmi di calcolo disponibili su PC, anche ad uso didattico, hanno contribuito ad allontanare gli interessi degli studenti dalla conoscenza dei metodi di analisi strutturale. Infatti, i nuovi pacchetti software, proprio perché dotati di interfacce grafiche migliori e più facilmente gestibili, possono portare a ritenere che si possa prescindere dalla conoscenza, soprattutto, del significato meccanico delle operazioni matematiche che costituiscono un programma di calcolo strutturale. Per questi motivi si è ritenuto importante descrivere, passo passo, l'algoritmo utilizzato dai programmi che implementano il metodo degli elementi finiti allo scopo di fornire agli utenti finali un valido supporto per il corretto utilizzo degli stessi. Il presente volume, assieme al software di calcolo ad esso associato, rivolto a studenti che abbiano superato l'esame di Scienza delle Costruzioni, non pretende di trattare il problema in maniera esaustiva, ma si propone solo di fornire le informazioni di base.

Gli autori ci accompagnano alla scoperta di un episodio poco conosciuto nella storia della matematica e del suo legame con la religione, analizzandolo in un contesto dominato da lotte politiche, eresie, interrogativi etici, filosofici e scientifici. La storia ruota intorno alle vite di 6 matematici, 3 francesi e 3 russi, i cui destini si sono intrecciati mentre tentavano di risolvere il più antico e affascinante enigma nella storia della matematica: definire l'infinito. Mentre il "trio francese" tentò di trovare una risposta razionale, il "trio russo" trovò ispirazione in un culto religioso, la "Venerazione del Nome", arrivando alla formulazione della teoria degli insiemi.

"Si presenta spesso il caso che vengano confusi tra di loro [...] i concetti di infinito potenziale e di infinito attuale, malgrado la loro differenza essenziale. [...] Il primo denota una grandezza variabile finita, che cresce al di là di ogni limite finito; il secondo ha come suo significato un quanto costante, fisso in sé, tuttavia posto al di là di ogni grandezza finita. Avviene un'altra frequente confusione con lo scambio tra le due forme dell'infinito attuale, e precisamente quando si mettono insieme il Transfinito e l'Assoluto, mentre questi due concetti sono rigorosamente separati, in quanto il primo è relativo a un infinito [attuale], sì, ma ancora accrescibile, il secondo [a un infinito] non accrescibile e pertanto non determinabile matematicamente." (Georg Cantor)

Negli anni recenti, grazie anche agli studi su sistemi non lineari con computer superveloci, è divenuto chiaro come il caos, la nonlinearità, il disordine non siano un'eccezione, ma una proprietà intrinseca di molti sistemi, che presentano quindi un comportamento non prevedibile in modo deterministico. La teoria matematica che sta alla base di queste recenti scoperte, nuovo strumento per moltissime applicazioni nella scienza e nell'ingegneria, è la teoria delle catastrofi. Arnol'd fornisce un metodo universale per studiare tutti i tipi di transazioni brusche, discontinuità e cambiamenti improvvisi in un modo accessibile anche a chi non abbia una preparazione matematica.

Matematica e Biologia, un connubio intuito fin dall'Età classica, visto che Pitagora insegnava nella sua scuola argomenti naturalistici in termini matematici. Per passare al secolo scorso: Godfrey Harold Hardy, Erwin Schrödinger, Alan Turing, Vito Volterra, solo per citare alcuni dei matematici e fisici tra i più importanti del '900, hanno contribuito allo sviluppo della genetica, della biologia cellulare, della teoria dell'evoluzione. Lo stesso Darwin ha sostenuto che la matematica ha aiutato a trovare risposta a questioni di scienze della vita e, d'altra parte, nuove idee per la matematica sono venute da questioni biologiche: le reti neurali, gli algoritmi genetici, i comportamenti collettivi emergenti. Con questo libro si introducono gli strumenti matematici di base, essenziali per lo studio dei fenomeni naturali, in particolare il calcolo differenziale e integrale, che devono far parte delle competenze di qualunque laureato in una disciplina scientifica. Gli autori hanno cercato di motivare lo studio di questi strumenti, partendo dalle questioni che hanno portato al loro sviluppo, mostrando alcune applicazioni e affrontando la descrizione quantitativa dei fenomeni e la previsione del loro sviluppo.

Che cosa misura una teoria probabilistica? Non certo un valore numerico ben definito. Piuttosto una distribuzione di probabilità su tutti i valori possibili di quella grandezza. E la domanda fondamentale dell'autore di questo libro è se quella teoria possa descrivere meglio di una teoria casuale quanto accade o si prevede che accada. Costantini opta per l'abbandono di una metafisica causal-deterministica a favore di una visione che sia davvero una visione scientifica del mondo. Alla fine descrivere il mondo altro non è se non misurare le probabilità all'interno di esso.

Questo volume è una raccolta di equazioni differenziali ordinarie risolte. La maggior parte sono esempi presentati all'Alma Mater Studiorum Università di Bologna nei corsi di laurea in Ingegneria meccanica e in Matematica. Il testo è rivolto allo studente di Matematica, Fisica o Ingegneria che, per preparare un esame di analisi matematica, deve risolvere esercizi su equazioni differenziali, sistemi e soluzione locale di problemi di Cauchy. L'unico prerequisito per la lettura è la conoscenza del calcolo differenziale e integrale per funzioni di una variabile reale. Nel primo capitolo sono esposte alcune nozioni necessarie a risolvere le equazioni proposte nel seguito. Nei capitoli successivi viene mostrato come determinare l'insieme di tutte le soluzioni reali o una soluzione particolare che soddisfi un problema con condizione iniziale assegnata. Vengono discusse le equazioni a variabili separabili e le equazioni dei sistemi massa-molla-smorzatore. Nel quinto capitolo si parla di sistemi lineari di equazioni differenziali. Al termine di ogni capitolo ci sono ulteriori esercizi di cui non è riportato lo svolgimento, ma solo la soluzione.