Matematica

Tutti sappiamo che due più due fa quattro, ma pochi di noi sono in grado di dire perché. Si tratta, in effetti, di un'affermazione tutt'altro che scontata da un punto di vista matematico. Si celebrano coloro che dimostrano teoremi apparentemente astrusi, si girano film su questi personaggi eccentrici, ma come abbiano fatto, in che cosa consista la loro prova non sembra essere mai del tutto chiaro. In QED , che altro non è se non l'acronimo per Quod Erat Demonstrandum , formula di rito posta alla fine di tutte le dimostrazioni matematiche, la problematica delle dimostrazioni viene inserita in un quadro storico e filosofico, dai greci a Descartes alla rigorizzazione dell'Ottocento, ma soprattutto le dimostrazioni vengono discusse dall'interno, per far risaltare il loro ruolo nella costruzione della matematica. Al termine della lettura, sarà impossibile restare insensibili al fascino dell'eleganza razionale dell'attività dimostrativa, dal lampo d'intuizione iniziale alla sua inevitabile e stringente conclusione, a volte così poco intuitiva da risultare sorprendente.

Una scorrevole e affascinante storia della matematica da Pitagora a Hilbert, leggibile anche, e soprattutto, dal lettore comune.

Il presente volume di quesiti teorici è rivolto a studenti universitari, di vari corsi di studio, che affrontano esami di matematica.

Il presente volume di quesiti teorici è rivolto a studenti universitari, di vari corsi di studio, che affrontano esami di matematica.

Un'introduzione comparata.

Il presente volume di esercizi svolti è rivolto a studenti universitari, di vari corsi di studio, che affrontano esami di geometria e algebra lineare. Il materiale è suddiviso in quattro parti: Esercizi, Risultati, Svolgimenti e Problemi Misti. Gli argomenti affrontati sono i seguenti: geometria analitica del piano e dello spazio; sistemi lineari; operazioni con le matrici; spazi vettoriali; generatori e indipendenza lineare; applicazioni lineari; cambi di base; sottospazi vettoriali; determinanti; diagonalizzazione; strutture euclidee; spazi euclidei; forme quadratiche; trasformazioni geometriche; coniche; quadriche.

Il Teorema di Rolle ha un ruolo di rilievo nei corsi di analisi matematica I per le conseguenze sullo studio della monotonia e dei punti critici di una funzione, tuttavia, preso in sé ed estrapolato da tutto il contesto, ha nella sua presentazione didattica un aspetto di rigorosa e fredda costruzione matematica. In questo volume viene descritto lo studio delle funzioni razionali a zeri reali spiegando come quando è possibile dedurre in modo elementare il numero esatto di zeri delle derivate di ordine successivi, in particolare derivata prima e seconda, e quindi il numero di punti stazionari flessi a tangente obliqua.

Rivolto agli studenti del primo anno di ingegneria, questo testo approfondisce lo studio di funzioni, argomento trattatto nel corso di Analisi I. Scegliendo dai temi d'esame di funzioni di studio particolarmente impegnativo si mostra che la loro equazione rappresenta spesso il risultato di una catena di operatori applicati a una funzione di partenza molto più semplice, potendo, pertanto, ottenere il grafico finale mediante la conoscenza e tramite l'applicazione delle proprietà di tali operatori.

Il libro è rivolto a studenti universitari che dovranno sostenere un esame di Matematica. In particolare, può essere utilizzato per un precorso di Matematica, per incontri di tutorato e per attività di potenziamento per studenti di scuola secondaria superiore. Contiene teoria ed esercizi svolti, ed è costituito dai seguenti capitoli: logica, insiemi, numeri, algebra, equazioni e disequazioni algebriche, geometria analitica, funzioni, funzioni lineari, modulo radici, funzioni potenza, funzioni esponenziale e logaritmica, funzioni goniometriche, funzioni reali di variabile reale, probabilità e statistica introduzione alle dimostrazioni. Il testo è arricchito da links che rimandano, nei punti opportuni, ai video del corso online di Introduzione alla Matematica per l'Università sviluppato al Politecnico di Milano e disponibile gratuitamente su www.pok.polimi.it.

La vita è una lotteria. L'incertezza genera dubbi e il dubbio ci fa sentire a disagio; quindi ci piacerebbe ridurre, o meglio ancora eliminare, l'incertezza. Ma l'incertezza è ovunque, fa capolino in qualsiasi considerazione legata all'avvenire, si tratti del tempo, dell'economia o del sesso di un nascituro. Persino quelle quantità che crediamo di conoscere, come il numero di abitanti di un paese o le traiettorie dei moti dei pianeti, contengono delle possibilità di errore. Non stupisce perciò che l'uomo abbia da sempre cercato di definire, comprendere e limitare l'incertezza. Nel corso dei secoli, mossi da curiosità o competizione, pionieristici matematici e scienziati hanno via via ridotto le selvagge zone di incertezza per addomesticare le probabilità e le statistiche. Eppure, anche se da sconosciuta l'incognita è diventata conosciuta, il nostro pessimismo ci fa poi concludere che alcuni quesiti sono comunque irrisolvibili, e che le nostre intuizioni ci hanno ingannato. O peggio ancora: quando comprendiamo quanto l'incertezza sia onnipresente e mutevole, ci scontriamo con il caos, la meccanica quantistica e i limiti delle nostre capacità predittive. L'incertezza non è sempre un male. Ci piacciono le sorprese, purché siano piacevoli. A molti diverte puntare qualche soldo sulle corse di cavalli e la maggior parte degli sport non avrebbe senso se sapessimo all'inizio chi vincerà. Alcuni futuri genitori ci tengono a non sapere il sesso del nascituro. La maggior parte di noi, sospetto, non vorrebbe conoscere in anticipo la data della propria morte, e tanto meno come si verificherà. Ma queste sono eccezioni. La vita è una lotteria. L'incertezza genera spesso dubbi e il dubbio ci fa sentire a disagio; quindi vogliamo ridurre, o meglio ancora eliminare, l'incertezza. Ci preoccupiamo di che cosa succederà. Teniamo d'occhio le previsioni del tempo, pur sapendo che il tempo è notoriamente imprevedibile e che le previsioni sono spesso sbagliate. […] Le faccende umane sono sempre state caotiche, ma anche in ambito scientifico la vecchia idea di una natura che obbedisce a leggi esatte ha lasciato il posto a una visione più flessibile. Possiamo trovare regole e modelli che sono approssimativamente veri […] ma sono pur sempre provvisori, destinati a modifiche se e quando arrivano nuovi dati. La teoria del caos ci dice che perfino quando qualcosa obbedisce effettivamente a regole rigide, può lo stesso essere imprevedibile. La meccanica quantistica ci dice che, arrivando alle scale minime, l'universo è intrinsecamente imprevedibile. L'incertezza non è solo un segno di ignoranza umana; è ciò di cui è fatto il mondo.