Matematica

Un apprendimento effettivo della matematica avviene attraverso l’intreccio di molteplici dimensioni: la razionalità matematica, le sue rappresentazioni, il laboratorio, i linguaggi e la socialità. Esso si realizza condividendo un discorso che coinvolge insegnante, allievi e allieve e cresce collegando i vari argomenti all’interno di una comunità educativa. Gli esempi concreti e i commenti didattici presenti nel volume sono elaborati secondo un processo unitario e graduale, dalla scuola primaria alla secondaria di secondo grado, e mostrano un’idea di insegnamento come sviluppo in un discorso educativo sequenziale che produca in chi studia competenze atte a generare lenti per una lettura non frammentaria della realtà in cui viviamo. Il volume è frutto della collaborazione pluriennale in ricerche e sperimentazioni da parte del Nucleo di Ricerca in Didattica della Matematica dell’Università di Torino, che vede coinvolti come coautori e coautrici tutti i suoi componenti, appartenenti ai vari ordini scolastici e all’università.

Invito pertanto caldamente coloro che si interessano ai problemi dell’insegnamento della matematica e quanti amano i problemi fondazionali della matematica stessa, a leggere questo lavoro. La fatica che faranno li premierà certo con l’apertura di nuovi orizzonti di riflessione e di pensiero: è quanto è successo a me e auguro a tutti loro. Dalla prefazione di Ferdinando Arzarello

Sapevate che il 34 aprile è un giorno molto utile? Che alcuni fiumi scorrono dal basso verso l’alto? Che la luna gira in linea retta? Che la copertina di questo libro può essere verde? E che mentre leggete queste righe state viaggiando a una velocità di 300.000 chilometri al secondo? Queste affermazioni possono sembrarvi assurde, ma sono vere! La nostra percezione del mondo a volte è ingannevole. Nella scienza, la realtà ribalta i nostri pregiudizi e mette costantemente in discussione le nostre convinzioni più intime. Non si tratta sempre di essere più intelligenti per rispondere alle grandi domande: si tratta di essere più furbi. A volte basta un semplice cambio di punto di vista per far luce sui fenomeni più complessi. La matematica, in particolare, ci offre un potente strumento per comprendere il funzionamento dell’universo. Ci insegna a pensare in modo più ampio per capire meglio. Questo è ciò che ci mostra Mickaël Launay in un affascinante viaggio che inizia nelle corsie dei supermercati e termina nelle vertiginose profondità dei buchi neri. Un’ultima domanda: cosa c’entra tutto questo con l’ombrello?

Questo è il primo libro di una collana di due volumi di Matematica Generale, in cui trattiamo i tradizionali argomenti presentati in un corso di laurea in Economia in modo non tradizionale, aggiungendo tanti complementi di teoria nonché una quantità inusuale di esempi, figure ed esercizi.

Questo libro intende fornire agli studenti un ausilio per il superamento dell’esame scritto di Matematica Generale. A tal fine, lo svolgimento degli esercizi `e inusualmente pedissequo, per consentire al lettore di cogliere la metodologia di risoluzione senza doversi preoccupare dei calcoli. Alcuni esercizi – soprattutto negli ultimi capitoli – costituiscono un’occasione per presentare in un modo alternativo importanti aspetti della teoria.

Il volume presenta i quesiti di Matematica e di Fisica, assegnati per l’accesso alla Scuola Normale Superiore di Pisa, negli anni che vanno dal 2000 al 2010. Ogni quesito è stato risolto e commentato in maniera accurata. Questo lavoro è stato concepito nella speranza che possa essere innanzitutto utile a chi voglia tentare l’accesso a questa prestigiosissima istituzione culturale, ma può servire quale testo integrativo dell’ordinario materiale scolastico, per aiutare coloro che vogliono approfondire le conoscenze matematiche e fisiche e cimentarsi con i problemi di ammissione alla Normale Superiore di Pisa.

Il testo è strutturato in sette unità: ciascuna delle prime sei affronta un macro-argomento fondamentale di un insegnamento introduttivo di Analisi Matematica, mentre l'ultima comprende quattro prove di autovalutazione finale. La Palestra di allenamento che proponiamo consiste di: oltre 500 quesiti teorici con le relative risposte, pensati per testare e consolidare la comprensione dei concetti teorici; 430 test a risposta multipla, ciascuno corredato di indicazione della risposta corretta e di una spiegazione dettagliata che giustifica la classificazione della singola risposta in corretta o errata; 440 esercizi, tutti con relativo svolgimento: attraverso la risoluzione guidata degli esercizi, è possibile comprendere meglio i procedimenti e le tecniche necessarie per affrontare i problemi di Analisi Matematica.

L'Indagine Almalaurea fornisce una panoramica delle caratteristiche, del successo universitario e delle esperienze dei laureati, integrando dati statistici dai questionari con quelli amministrativi degli atenei. L'obiettivo della raccolta di quattro volumi è presentare i dati sui laureati triennali e magistrali delle professioni sanitarie: Infermieristica, Riabilitativa, Tecnica e Prevenzione. I volumi analizzano i dati del 2021, anno complesso a causa della pandemia di SARS-COV-2, che ha modificato radicalmente le attività didattiche e di tirocinio. L'apprendimento digitale ha evidenziato criticità come disparità di accesso alle risorse e competenze digitali, creando potenziali divari di apprendimento. Inoltre, le attività di tirocinio sono state ridotte o annullate, richiedendo attenzione particolare.

Le «Leggi del pensiero» di Boole, come scrisse B. Russell, sono veramente il primo libro di matematica pura mai pubblicato, dato che si realizza, per la prima volta nella storia del pensiero, la riduzione a calcolo di ogni procedimento inferenziale. Il libro ha una indubbia importanza teorica, data dalla scoperta dell'identità strutturale di logica e algebra, e un altrettanto rilevante significato storico per aver fornito la base a tanta parte delle algebre contemporanee, nonché la base per lo sviluppo dell'informatica, dei circuiti elettronici e dei linguaggi di programmazione. Il sistema delle «Leggi» si costituisce quindi come la «matematica dell'intelletto umano»: un vero e proprio «modello matematico» della mente, strumento d'analisi filosofica che spazia dall'indagine sulla costituzione della mente all'analisi delle prove dell'esistenza di Dio, dalla ricerca di un ordine del mondo alla determinazione dei limiti e delle possibilità della conoscenza umana.

I limiti di una funzione sono uno strumento importantissimo in Analisi Matematica. Essi servono a determinare il valore cui tende una funzione nell’intorno di un punto o all’infinito. Il concetto di limite era già presente in modo intuitivo nell’antichità, per esempio da Archimede, e successivamente utilizzato, non in maniera rigorosa da Newton, Leibniz, Eulero e D’Alembert. La prima definizione precisa risale al XIX secolo con Cauchy, seguita da una migliore formalizzazione di Weierstrass. Ma è con Heine, nel 1872, che si ha una completa teoria del limite. Il calcolo del limite si dovrebbe affrontare dopo aver studiato la definizione; in pratica, è meglio saper calcolare prima un limite perché ciò può essere d’aiuto per capire meglio la definizione stessa. Ottenere il risultato di un limite è molto facile e semplice, salvo per le forme indeterminate e per i limiti notevoli. Lo scopo di questo eserciziario è proprio quello di rendere facili anche quei limiti che tanto facili non sono, grazie ad uno svolgimento minuzioso e dettagliato.

L’Analisi Matematica è una disciplina cruciale in diversi campi del sapere e, in particolare, nel campo delle discipline economiche e/o finanziarie. Attraverso l’esplorazione di concetti basilari come limiti, successioni, serie, derivate, ricerca di massimi o minimi, concavità o convessità e integrali, si può essere in grado di analizzare ed elaborare modelli relativamente semplici riguardanti fenomeni complessi di natura economica e/o finanziaria, comprendere le relative dinamiche sottostanti e assumere decisioni informate basate su dati quantitativi. In un’epoca in cui la ricerca è sempre più guidata dai dati e dall’analisi quantitativa, è fondamentale padroneggiare l’Analisi Matematica per comprendere e interpretare i fenomeni che ci circondano. Lo studio dei fenomeni quantitativi attraverso la matematica non solo consente di capire meglio il mondo che ci circonda, ma fornisce anche gli strumenti necessari per affrontare al meglio le sfide complesse che caratterizzano l’economia e/o la finanza contemporanea. è importante sottolineare, inoltre, quanto l’Analisi Matematica sia fondamentale nell’utilizzo dei software specializzati per l’analisi dei dati. I software di analisi statistica e gli strumenti che consentono di creare e gestire modelli matematici, modelli di machine learning e modelli di intelligenza artificiale, sono ampiamente utilizzati nel mondo accademico e professionale per analizzare i dati economici, sviluppare modelli predittivi e assumere decisioni informate. La padronanza dei concetti dell’Analisi Matematica permette di utilizzare in modo efficace tali strumenti e di trarre il massimo beneficio dal loro utilizzo, considerandone i loro pregi e i loro limiti.