Matematica

Chissà che la geometria non possa rivelarsi una forma d’arte. Questo volume si ripromette di dimostrarlo, utilizzandola come una lente per osservare in modo inedito architetture di oggi e di ieri. Sotto questa lente passano edifici di tutto il mondo, dalla cupola di San Pietro all’Opera House di Sydney, che si mostrano rispettivamente come un “ellissoide di rotazione” e un “intreccio di porzioni di sfera”. Così facendo mettono a nudo la propria “anima geometrica”, che è strettamente connessa con la loro storia, estetica, funzionalità, struttura... Architettura, arte e geometria si trovano più che mai avvinte in un abbraccio, che tiene insieme con passione alcune tra le più belle realizzazioni dell’uomo.

Sarà di certo successo anche a voi di navigare sui social media o accendere la TV e di trovarvi davanti una statistica che suona come una sentenza. Da quando è iniziata la pandemia di Covid-19, poi, siamo stati sommersi di dati e cifre: per dissipare incertezze, invitare alla prudenza o delineare il quadro della situazione. E allora diventa legittimo farsi delle domande. Di quali statistiche possiamo fidarci? Quali, invece, sarebbe meglio mettere in discussione? La tempesta di cifre che ci investe ogni giorno potrebbe portarci a considerare i numeri come nemici ingannevoli e fuorvianti, ma la verità è che la statistica è uno strumento essenziale per guardare il mondo: ci permette di individuare correlazioni che altrimenti ci sfuggirebbero, di costruire storie, supportare tesi o confutare opinioni. Tim Harford, economista e presentatore radiofonico, è un vero talento nel rendere accessibili ai suoi milioni di lettori anche i concetti più complicati, e in questo viaggio travolgente fra numeri, logica ed emozioni ci insegna a riconoscere i segni della disinformazione e del ragionamento fallace. Basandosi sulle più recenti teorie delle scienze cognitive e sociali, Harford ci fornisce dieci strategie (e una regola aurea) per interpretare la statistica con fiducia, curiosità e… una certa dose di sano scetticismo. A partire dall’analisi dei nostri bias cognitivi, passa in rassegna sia gli errori comuni – da cui, sostiene, non sono immuni neppure gli esperti – che i veri e propri paradossi statistici. Conducendoci alla scoperta di quel tesoro che sono numeri e dati raccolti in modo rigoroso, per permettere anche a noi di tirare le somme e capire un po’ meglio come funziona il mondo.

In modo forse ancora più marcato di quanto già non accada per altre materie economico-finanziarie, i concetti della matematica finanziaria richiedono lo svolgimento del maggior numero possibile di esercizi in grado, da un lato, di consolidare nozioni apprese a livello teorico e, dall'altro, di mostrare come la matematica finanziaria abbia continue implicazioni nella vita di tutti i giorni. L'eserciziario in questa nuova versione, rivisitato e ampliato, offre esercizi su tutti i principali temi di un corso di matematica finanziaria classica (nozioni elementari, regimi finanziari, tassi equivalenti/tassi medi, valore di un'operazione finanziaria, rendite, ammortamenti, criteri di scelta tra operazioni finanziarie) e le nozioni base della matematica attuariale. Con l'intento di guidare lo studente in un percorso di miglioramento dell'apprendimento, ogni capitolo si articola in tre sezioni: la prima contenente un richiamo alle "Nozioni teoriche", la seconda con "Esercizi risolti" e la terza con "Esercizi da risolvere".

Un'introduzione sistematica agli argomenti fondamentali della geometria, insegnamento di base del primo e secondo anno delle Facoltà di Ingegneria. Scopo didattico del manuale è da una parte insegnare le tecniche di base dell'algebra lineare (per esempio la risoluzione dei sistemi lineari e la diagonalizzazione di matrici), dall'altra applicare tali tecniche allo studio di problemi di varia natura, in particolare alla geometria analitica del piano e dello spazio, sviluppando in modo rigoroso l'intuizione geometrica tridimensionale. Tali conoscenze sono di fondamentale importanza per affrontare i successivi corsi di ingegneria. L'approccio alla materia è rigoroso, ma concreto, senza essere troppo assiomatico: lo studente attraverso diversi esempi numerici è condotto a enunciare teoremi generali che poi dovranno essere validati da una dimostrazione. Questa metodologia, basata sulla "sperimentazione" e frutto dell’esperienza di insegnamento ventennale maturata dall'autore, è peraltro tipica della ricerca scientifica, anche in campi non necessariamente applicativi. Il testo è integrato da ulteriori esercizi con soluzioni disponibili on line alla pagina web del volume ed è inoltre scaricabile in versione digitale.

Il volume raccoglie sei articoli di cui uno inedito: "Sul principio di Hankel nell'insieme dei numeri complessi" e altri cinque già pubblicati sul Periodico di Matematiche, organo della Mathesis, tra il 2004 e il 2009: "Una spirale logaritmica aurea" (2004), "La successione di Fibonacci, il numero aureo, la spirale logaritmica aurea" (2005), "Spirali logaritmiche tridimensionali" (2006), "Sulle serie armoniche generalizzate" (2008), "Sulle serie alternate" (2009).

Per la prima volta in traduzione italiana, l'opera di Pavel Florenskij che introdusse una nuova interpretazione geometrica dei numeri complessi. In questo saggio, l'autore si propone di descrivere in modo visivo le proprietà delle diverse equazioni risultanti dalle due variabili, che possono avere valori sia reali sia immaginari. Ai primi sette capitoli, cui Florenskij lavorò nel 1902, il filosofo e matematico aggiunse un ottavo nel 1921 e un nono nel 1922. Nel nono capitolo il concetto di "immaginari" viene inserito all'interno di una visione cosmologica che include un originale confronto tra i sistemi tolemaico e copernicano, la relatività speciale di Einstein e la "fisica" di Dante nella Divina Commedia. Un'opera in anticipo sulla sua epoca, considerata "eretica" dai commissari bolscevichi per il suo approccio rivoluzionario alla materia matematica.

Come poter rendere alcuni concetti matematici più fruibili agli studenti ancora impegnati negli ultimi anni di scuola superiore? Oppure, come offrire a un pubblico più vasto, che tali concetti ha incontrato tanti anni prima, magari solo nel loro aspetto puramente formale, una chiave interpretativa che possa farglieli riconsiderare sotto una prospettiva differente? La risposta è: “bisogna umanizzarli”, renderli concreti, il più possibile vicini a problemi della vita ordinaria, in cui ognuno possa riconoscersi. Su ogni argomento, uno per ogni mese dell’anno, si dipana una situazione metaforica da cui nasce la narrazione che spazia dal racconto breve alla sceneggiatura per un cortometraggio, dalla tragedia teatrale al monologo.

Ci hanno insegnato che le scorciatoie sono qualcosa di sospetto, se non addirittura sbagliato o pericoloso: un trucchetto sleale, che permette di evitare parte del percorso necessario a raggiungere un obiettivo. Soluzioni per scansafatiche sempre pronti a «barare», o deviazioni adatte solo ai meno cauti. In ogni caso, niente di più lontano dalla matematica, con i suoi calcoli precisi - e un po' tediosi - da svolgere un passo alla volta. O no? Be', uno studioso e divulgatore del calibro di Marcus du Sautoy non sembra affatto d'accordo. Anzi, secondo lui la matematica è il regno del pensiero strategico, quello che ci porta al risultato richiesto nel tempo più breve e con il minor dispendio di energie possibile. Imboccando, insomma la stessa via seguita da Madre Natura. E non è un caso se gran parte di ciò che chiamiamo «progresso» sia nato proprio dalla capacità di semplificare un certo compito. Dobbiamo tantissimo a quei «pigri» che hanno trovato la soluzione meno faticosa per affrontare grandi problemi: dalle tecniche per edificare le prime città, sorte oltre cinquemila anni fa lungo il Nilo e l'Eufrate, al calcolo infinitesimale applicato all'ingegneria rinascimentale, fino agli algoritmi informatici in grado di indicarci la strada giusta o aiutarci a trovare online la nostra anima gemella. E la matematica non è l'unica scienza che può insegnare l'arte delle scorciatoie. Ecco perché questo libro divertente, pieno di aneddoti sorprendenti e di stimolanti enigmi da risolvere, si avventura in molti altri campi del sapere: dal mondo delle start-up a quello della musica, dai viaggi alla psicologia. Mostrandoci come proprio l'abilità di trovare approcci innovativi differenzi l'uomo dal più efficiente dei computer, che può invece affidarsi alla sua enorme capacità di calcolo per compiere in un attimo la via più lunga. Con la sua indubbia competenza e il suo inconfondibile piglio ironico, du Sautoy ci insegna come funzionano le scorciatoie mentali e quali sono le strategie per risolvere con creatività i problemi che affrontiamo ogni giorno. Starà a noi, poi, farne buon uso.

La matematica rievoca nei più un brutto voto, o pomeriggi trascorsi davanti a grigie equazioni. Grazie al cinema, in tempi recenti matematica fa anche rima con genio e fragilità, basti pensare a 'A Beautiful Mind' o 'The Imitation Game'. La matematica, però, non è un incubo scolastico, né vive solo nella mente di poche persone fuori dal comune. A ogni ora della nostra giornata, ci assiste sempre più in quel che facciamo. Sulla matematica si fondano le nostre scelte collettive, come ha messo in luce la pandemia di Covid-19. Ma è presente anche nella vita quotidiana di ognuno di noi, spesso invisibile eppure tangibile e decisiva. Per esempio quando chiediamo aiuto a Google, quando usiamo una carta di credito o quando in auto ci affidiamo a un navigatore satellitare; oppure quando facciamo la spesa o utilizziamo il trasporto pubblico, quando ascoltiamo musica o ci sottoponiamo a una TAC. Del resto appartiene anche al regno animale, dalle formiche ai nostri più fedeli amici a quattro zampe. Giovanni Sebastiani ci invita a osservare il mondo con gli occhi di chi ogni giorno lavora con la matematica, accompagnandoci in un viaggio alla portata di tutti nella magia quotidiana dei numeri. Da Didone che tagliando una pelle di toro fonda Cartagine, a Reinhold Messner che ammira il mondo da quota ottomila; da Vincent van Gogh che vede un cipresso e dipinge una fiamma, a Wisława Szymborska che parla una lingua universale, la matematica pervade ciò che di grande e appassionante sappia raggiungere l'umanità. Rende più semplici - e affascinanti - le nostre vite, come "24 ore con un matematico" mostra anche ai più scettici.

Il titolo di questo libro richiede una spiegazione: non si vuole soltanto sottolineare la destinazione del testo (i corsi di Logica matematica nelle facoltà di Informatica), ma soprattutto metterne in evidenza la particolare impostazione, che lo distingue dai numerosi manuali di logica matematica disponibili sul mercato italiano. Il volume, infatti, affronta l'insegnamento della logica tenendo sempre presenti gli strettissimi rapporti di questa disciplina con l'informatica; pur presentando argomenti tradizionali della logica matematica classica, il testo è arricchito da costanti riferimenti ai principali temi di contatto tra logica e informatica.

Attraverso alcuni esempi tematici o problematici, storicamente documentati, l'autore illustra il percorso che un'elaborazione geometrica compie dalla sua creazione alla sua apocalisse, facendo riferimento, con il primo termine, al processo mentale che porta alla sua prima completa formulazione matematica e, con il secondo, alla sua ultima o più recente interpretazione o formulazione. Il cercare nella tradizione elementi che supportino l'idea che si intende esprimere e sviluppare, fino a raggiungere quella chiarezza interiore necessaria al suo sviluppo esplicito, consente a ciò che è frutto di riflessione di avere una sua vita autonoma. Ci si trova, così, di fronte a una creazione matematica che da quel momento in poi comincia il suo percorso vitale e che è legata alla consapevolezza di una libertà interiore che si esprime in un preciso momento e in uno specifico contesto storico. Questa creazione, pur essendo inevitabilmente soggetta all'usura del tempo, può dare prova di vitalità, tanto da essere presa in considerazione in un nuovo contesto, dove, però, è sottoposta a una rilettura e a una interpretazione culturale che in apparenza sembra segnare la sua morte, mentre, in realtà, segna la sua rinascita a nuova vita, realizzando la sua apocalisse. Nel significato complesso del termine apocalisse l'autore racchiude, così, la conclusione e la distruzione di un mondo e la nascita di un mondo nuovo, non immaginato né immaginabile prima, e ogni nuova interpretazione o formulazione di un'elaborazione geometrica, prospettando percorsi storici talvolta trascurati o non adeguatamente studiati.