Matematica

Questi sono appunti delle mie lezioni di matematica discreta per il corso di studi in ingegneria elettronica e ingegneria delle comunicazioni dell'Università di Roma, La Sapienza. è un corso facoltativo di 6 CFU. A grandi linee il corso si compone delle seguenti parti: 1. Elementi di teoria dei numeri 2. Elementi di algebra moderna 3. Elementi di combinatoria 4. Elementi di teoria dei grafi Mi sono proposto di illustrare alcune tematiche di diversi campi della matematica moderna in cui si può suddividere la Matematica Discreta. Data la varietà dei possibili argomenti è difficile indicare un singolo libro di testo che comprenda un po' di tutto ciò che volevo illustrare. Per questi appunti ho attinto perciò da varie fonti citate nella bibliografia a cui rinvio per approfondimenti. Il testo contiene anche numerosi esercizi svolti.

Questa è una raccolta di 201 esercizi di algebra lineare e geometria affine, euclidea e proiettiva, con le relative soluzioni. Non si tratta di esercizi ripetitivi e meccanici che possono essere risolti con un approccio standard ma di esercizi che necessitano di una buona comprensione della teoria, di un approccio critico e di qualche idea personale per essere risolti.

Alan M. Turing, il geniale logico, matematico e filosofo inglese, pubblica “Macchine calcolatrici e intelligenza” nel 1950. È il testo che ha aperto la discussione moderna sulla possibilità dell’intelligenza artificiale, oggi più che mai attuale per via delle prestazioni sorprendenti dei sistemi di IA generativa come ChatGPT. Turing si domanda se le macchine, di lì a non molto, sarebbero state capaci di pensiero, e risponde affermativamente, analizzando e respingendo varie obiezioni. Le analisi di Turing, al confine tra filosofia e informatica, hanno posto problemi di cui stiamo ancora cercando una soluzione. Diego Marconi, che cura il volume, in un saggio conclusivo ci aiuta a comprendere questo testo fondamentale e a inserirlo nell’attuale dibattito sull’intelligenza artificiale.

L'intervista a Marco Andreatta e Silvia Benvenuti, da poco eletti a Presidente e Consigliere Scientifico dell'Unione Matematica Italiana (l'associazione che si occupa di promuovere e divulgare lo sviluppo delle Scienze Matematiche, delle loro applicazioni e del loro insegnamento) si affianca a una indagine sul ruolo della matematica all'interno del Consiglio Nazionale delle Ricerche, che fin dalla sua fondazione ha espresso la necessità di una sinergia tra ricerca universitaria e mondo imprenditoriale, volta ad affrontare i problemi più delicati del Paese. Si aggiungono alcuni importanti esempi del ruolo della matematica nella cultura nel suo senso più ampio: dalla letteratura, con Bondoni e Toffalori che esaminano la presenza della logica nell'opera di Italo Calvino, l'articolo di Bischi che ricorda il Furor Mathematicus di Leonardo Sinisgalli, una delle opere più coinvolgenti del Novecento, nell'ottantesimo anniversario dalla sua prima edizione del 1944, fino ai legami con la storia descritti da Umberto Bottazzini che percorre l'Ottocento attraverso la figura del matematico Enrico Betti. Ma ci sono anche due perle matematiche, una sui labirinti (Renato Betti) e una su particolari categorie di numeri primi (Jacopo De Tullio). Completano il volume le usuali brevi ma intense rubriche, dai giochi proposti dai Rudi Mathematici fino agli incontri con la geometria e gli utilizzi della calcolatrice in classe e una rivoluzionaria app matematica per gli studenti.

La matematica è il racconto delle cose che ci circondano, offertoci dalle cose che ci circondano. Sono queste il motore della scoperta, perché su queste sfoghiamo le nostre emozioni, il nostro amore, le nostre frustrazioni. Lasciamo dunque che siano queste a parlarci delle vite dei padri di questa materia, intrecciate dal filo dell’evoluzione del pensiero umano, di cui la matematica è un efficacissimo saggiatore. Questa esegue un percorso temporale e concettuale ben tracciato, con un inizio, un viaggio e una meta ancora molto distante. Sono ancora tante le domande a cui il genere umano deve trovare risposta e tra le più interessanti ci sono quelle che afferiscono alla materia stessa: la matematica proviene unicamente dalla nostra mente? E se sì, come riesce a descrivere il mondo? Quali sono i suoi, e i nostri, limiti? Ora che la matematica non è più una materia sconosciuta con cui giocare, ora che siamo liberi di esprimere il nostro pensiero attraverso canali nuovi, sicuri e veloci, chi o cosa ci aspetta al limite della nostra mente?

La formula di Cardano riveste un'importanza, per i matematici, paragonabile alla prima immagine della faccia nascosta della luna o alla scoperta della penicillina. Anche se all'inizio del 1500 le equazioni di terzo grado erano considerate intrattabili nella loro generalità, i matematici di allora si sono dapprima impegnati nella ricerca delle soluzioni e, in seguito, nel dare loro un senso anche quando sembrava impossibile attribuirgliene. È così che sono stati pensati i numeri complessi che, come tutti gli altri insiemi di numeri, sono importanti in quanto contribuiscono ad accrescere la conoscenza. Sono stati necessari diversi matematici: Dal Ferro, Tartaglia, Cardano, Ferrari, Bombelli e poi tanti altri ed ognuno di essi ha posto le sue tessere nel mosaico della matematica per arricchirlo e mostrarlo all'umanità intera come fanno gli artisti con le loro opere d'arte.

Una delle caratteristiche più rilevanti di Statistica: L'arte e la scienza d'imparare dai dati è l'approccio guidato dai concetti, che offre agli studenti impegnati in un percorso superiore di studi sociali gli strumenti fondamentali per gestire la grande mole d'informazioni che caratterizzano l'attuale società della conoscenza: sapersi muovere nella giungla informativa, raccogliere e integrare dati, essere in grado di sintetizzarli, analizzarli e presentarli. In particolare questa edizione italiana si caratterizza per gli specifici laboratori monotematici sviluppati con il software R, raccolti alla fine del volume e completati nella piattaforma MyLab da un ricco apparato di materiali e contributi didattici (dataset, script, output, funzioni, tutorial, esercizi svolti etc.).

Il manuale affronta gli argomenti tipici di un insegnamento base di Statistica nelle lauree triennali in Scienze Economiche e Sociali, Psicologia, Ingegneria Gestionale e Informatica. Il testo, in questa nuova edizione, si propone inoltre di offrire un quadro completo dei metodi statistici più rilevanti per le moderne applicazioni di machine learning e di intelligenza artificiale. A questo fine la struttura del libro è stata modificata per migliorare la comprensione e sottolineare gli aspetti più importanti da assimilare per affrontare tali argomenti.