Matematica

Forse non è un caso, vista la profonda distanza che lo separa da Galileo nella visione della matematica, se questi scritti di Bruno, dopo essere stati accolti nella prima edizione delle Opere latine (1879-1891), non sono più stati pubblicati. Gli stessi curatori si dicevano persuasi che proponessero relitti del passato, superstizioni di un uomo appartenente al «mondo dei maghi» ed estraneo alla «rivoluzione scientifica» – giudizio condizionato dall’interpretazione del Rinascimento diffusasi a partire dall’Illuminismo. Questa nuova edizione, giunta ormai al sesto volume, si contrappone radicalmente a tale interpretazione, e assume piuttosto come guida i lavori di studiosi quali Burdach, Warburg, Garin, Yates, che tra la fine dell’Ottocento e la prima metà del secolo scorso hanno proposto del Rinascimento una lettura alternativa. I testi qui radunati, in particolare, rivelano quanto la matematica bruniana sia influenzata da elementi di carattere neoplatonico e legata al contempo a una concezione della realtà decisamente moderna: basti pensare al «minimo», nel quale viene individuata la struttura fondamentale della materia, e alla materia stessa indagata alla luce del concetto di «vita materia infinita». Come dimostra il ciclo dedicato a Fabrizio Mordente e alla scoperta del compasso – degno delle più belle pagine di Bruno –, inoltre, a contraddistinguere le Opere matematiche non è solo l’originalità filosofica, ma anche e soprattutto lo straordinario valore letterario.

Il matematico tedesco L. Collatz (1910-1990), osservò che moltiplicando un qualsiasi numero intero dispari per 3, aggiungendo 1 al prodotto ottenuto e dividendo il totale per 2 fino a ottenere nuovamente un intero dispari, continuando, in sequenza, a ripetere le suddette operazioni, l'algoritmo finisce sempre con l'intercettare una potenza del 2 la quale, a sua volta, a cascata, conduce al numero 1. Tale osservazione indusse Collatz a pensare che nell'insieme dei numeri naturali interi positivi non esiste un qualsiasi numero che, assoggettato all'algoritmo di che trattasi, esuli da tale traguardo, ovvero che l'algoritmo giunge sempre a termine, indipendentemente dal valore di partenza. Formulata nel 1937, tale congettura non è ancora dimostrata, tuttavia le estese prove empiriche non hanno mai fornito alcuna prova contraria il che induce a credere che la congettura sia vera. Il matematico ungherese Paul Erdos, a proposito di questa congettura, disse che "la matematica non è ancora matura per problemi di questo tipo". Lo studio, supportato da una sintetica formula matematica, mostra le, finora ignote, dinamiche aritmetiche che garantiscono l'eterna persistenza del fenomeno.

Questa seconda edizione di "Probabilità e Statistica" (la precedente ha avuto dieci ristampe) è più allineata con gli argomenti standard dei corsi di questa materia che si tengono al primo e al secondo anno della Laurea Triennale presso il Politecnico di Milano. Dalla precedente edizione sono stati eliminati contenuti che oggi sono più adatti a un corso di laurea specialistica. Gli argomenti attualmente trattati nel testo sono affrontati con un linguaggio semplificato e sorretto da moltissime illustrazioni che facilitano la comprensione. Qui di seguito gli argomenti del libro. Statistica descrittiva. Introduzione all'algebra dell'incerto con le definizioni fondamentali del Calcolo delle Probabilità. Variabili e vettori aleatori con le più comuni distribuzioni discrete e assolutamente continue e una particolare attenzione ai vettori gaussiani. Distribuzioni condizionate. Trasformazione integrale e tecniche di campionamento con gene-razione di numeri pseudocasuali su computer. Cenni al Metodo Monte Carlo. Comportamenti asintotici. Teorema centrale del limite. Stimatori e stime. Stima intervallare. Verifica delle ipotesi: test parametrici e non parametrici. Modelli lineari univariati di previsione. Cinquanta pagine di esercizi svolti. Un'appendice con gli argomenti di Analisi Matematica, Teoria degli Insiemi e Algebra lineare indispensabili per la comprensione della Probabilità e della Statistica. Fondamentali le biografie dei più eminenti scienziati che hanno lavorato nel campo della Probabilità e della Statistica. Rimangono inoltre un importante arricchimento, per la vita e non solo per la comprensione della materia, le epigrafi all'inizio di ogni capitolo.

Il volume offre una trattazione estesa e approfondita di argomenti chiave di Topologia Generale, arricchita da una vasta selezione di esercizi che incoraggiano un apprendimento attivo e autonomo. Progettato sia come supporto per corsi universitari sia come manuale per lo studio individuale, il testo si distingue per la sua chiarezza espositiva e per l'ampio spettro di contenuti trattati, che spaziano dai fondamenti teorici fino a temi più avanzati; inoltre, tra gli argomenti trattati, ve ne sono alcuni raramente presenti in altri testi italiani e internazionali con scopi analoghi.

Il testo è ideato per offrire una panoramica sintetica, ma al tempo stesso precisa e rigorosa, sulle principali tematiche della Geometria Differenziale contemporanea, quel settore della Geometria che utilizza strumenti dell'Analisi Matematica per studiare proprietà geometriche degli oggetti noti come varietà differenziabili. Il volume si sviluppa in due parti: la prima introduce la terminologia e le basi teoriche della materia, mentre la seconda affronta i concetti chiave della Geometria Riemanniana, branca della Geometria Differenziale fondamentale per le sue numerosissime applicazioni in svariati ambiti scientifici. Il testo è pensato per studentesse e studenti universitari di Matematica, Fisica e Ingegneria.

I futuri studenti di primo anno dell'Università Bocconi possono ripassare alcuni argomenti di matematica elementare utilizzando un apposito precorso online. Un precorso di matematica in presenza verrà poi impartito all'inizio del primo anno, su argomenti meno elementari. Per gli studenti del corso CLEAM, tale precorso in presenza verte sui tre argomenti che trovate riuniti in questo testo: Funzioni reali di una / n variabili reali; un'introduzione ai teoremi e alle dimostrazioni; derivate e derivate parziali.

Cosa hanno in comune i circuiti elettrici, il sistema ferroviario, gli antichi labirinti e Internet? Come si può calcolare il percorso più breve tra due città? È possibile colorare una cartina geografica usando solo quattro colori? Viviamo in un mondo interconnesso e questo libro ci spiega perché. La teoria dei grafi fornisce soluzioni a numerosi problemi pratici e teorici. Partendo da alcuni rompicapi matematici, Higgins ci aiuta a esplorare le strutture nascoste che sono alla base di alcuni tra i fenomeni più complessi del mondo attuale. Si passerà dal Sudoku circolare al classico problema del postino cinese, dall’organizzazione della sorveglianza di una galleria d’arte al trasporto di mogli e mariti gelosi, per arrivare ai social network.

In Topologia è spesso utile conoscere l'omologia del prodotto topologico di due spazi e, pù in generale, la relazione esistente tra i gruppi di omologia del prodotto e dei singoli spazi. Per esprimere tale relazione è necessario introdurre i gruppi di omologia a coefficienti arbitrari, sviluppare le nozioni di prodotto tensoriale (tra gruppi abeliani, o moduli, e tra complessi di catene) e studiare il bifuntore Tor. Gli strumenti approfonditi in questa monografia scientifica sono: il Teorema dei Coefficienti Universali, il Teorema di Eilenberg-Zilber, la tecnica dei Modelli Aciclici, il Teorema di Künneth.

Si tratta dell’opera scientifica più importante di Galileo, che espone le sue scoperte originali. Fu scritta nella maturità, dopo il processo del 1633. Le due nuove scienze alle quali allude il titolo sono la dinamica dei movimenti e la scienza delle costruzioni. Fu la meditata e autorevole risposta dell’illustre scienziato pisano, all’oscurantismo di chi lo accusò, contrastando le sue teorie astronomiche. Galileo infatti si adattò passivamente ai suoi persecutori che negavano la scienza moderna e il moto della Terra. Per sfuggire alla censura, riuscì a pubblicare questo libro solo in Olanda, nel 1638. Nel trattato dimostrò teorie ed esperimenti sulle due nuove scienze da lui scoperte, soltanto con la forza della ragione. La 2° edizione é del tutto rinnovata con disegni originali, immagini storiche a colori e approfondimenti scientifici. In questo dialogo, tre personaggi (Salviati, Sagredo, Simplicio) si ritrovano in un bellissimo palazzo rinascimentale sul Canal Grande a Venezia e, in sei giornate, discutono fra loro teorie scientifiche antiche e moderne. Dalle diverse argomentazioni dei tre personaggi galileiani, nacque ufficialmente la scienza moderna.

Senza la matematica non sarebbe esistita la rivoluzione digitale. I numeri hanno cambiato il nostro mondo e la visione che abbiamo di esso, confluendo poi nell’informatica e nel concetto di intelligenza artificiale. Questo libro sulla matematica è perfetto per chi vuole comprendere meglio il mondo contemporaneo e il modo in cui questa materia così astratta sia oggi il cuore pulsante della nostra vita digitale quotidiana. Si parte dai “semplici” numeri per arrivare agli algoritmi e alla crittografia, per terminare con l’AI, che oggi ci mette di fronte a sfide impensabili solo fino a qualche anno fa.

Il libro rappresenta uno strumento di inestimabile valore per guidare gli studenti degli ultimi anni della scuola secondaria verso le discipline STEM (Scienza, Tecnologia, Ingegneria e Matematica). È altrettanto utile durante le fasi iniziali degli studi universitari. Infatti, offre un supporto essenziale nell'approfondire il pensiero matematico, aiutando a comprendere appieno il significato dei concetti di definizioni, teoremi e dimostrazioni, nonché ad acquisire le adeguate tecniche per risolvere i problemi e presentare in modo efficace argomenti matematici. Lo studente ha l'opportunità di familiarizzare con diverse strategie dimostrative, come l'induzione, il ragionamento per assurdo e il ragionamento per contrapposizione, che costituiscono le fondamenta per sviluppare una solida comprensione della matematica. Inoltre, il libro offre numerosi esercizi pratici (oltre trecento) per consentire agli studenti di verificare i propri progressi.