Matematica

Il presente volume di esercizi svolti e di quesiti teorici con risposta è rivolto a studenti universitari, di vari corsi di studio, che affrontano esami di matematica.

Questo volume raccoglie una selezione di esercizi e materiali teorici sviluppati nell’ambito del corso interno di Matematica per gli studenti del primo anno della Scuola Normale Superiore. Il testo accompagna e approfondisce i temi affrontati nei corsi universitari di base, spaziando dai fondamenti della logica e della teoria degli insiemi alla topologia, al calcolo differenziale e alle equazioni differenziali. I primi capitoli offrono inoltre una trattazione autonoma di alcuni argomenti fondamentali, spesso non presenti nei corsi universitari dei primi anni.

La matematica, a partire dalla modellizzazione dei fenomeni fisici, sino al calcolo numerico ed alla simulazione di processi, ha sempre giocato un ruolo fondamentale nelle scienze applicate e, in particolare, in molti settori dell'Ingegneria. Questo libro si propone di far acquisire ai lettori interessati una conoscenza operativa di basilari metodologie sia numeriche, sia analitiche, tipiche della matematica applicata e computazionale. Gli argomenti trattati nel libro, nel loro complesso, rappresentano strumenti di uso corrente nella teoria del controllo, nell'analisi dei segnali, nella bioingegneria, nelle telecomunicazioni, nello studio dei campi elettromagnetici, nell'analisi di modelli elettrici e di processi chimici, nell'analisi della risposta del sistema immunitario ad agenti virali e in numerosi altri settori applicativi.

Il testo affronta le più importanti competenze di Algebra Lineare e di Geometria Analitica in maniera semplice e discorsiva, senza, tuttavia, rinunciare al rigore logico dei temi sviluppati e alla dimostrazione dei teoremi più significativi. Ogni capitolo è corredato di numerosi esempi svolti (complessivamente circa 330), utili per chiarire e precisare i concetti esposti e per preparare lo studente alla risoluzione degli esercizi presenti alla fine di ogni capitolo. Gli esercizi da svolgere sono quasi 600, e tutti, a parte quelli teorici, con il relativo risultato. Per gli esercizi teorici più impegnativi è presente un suggerimento. Questa terza edizione è stata arricchita con numerosi "colonnini", inseriti ai bordi delle pagine del libro. Il loro scopo è duplice: chiarire alcune questioni teoriche e applicative, relative agli argomenti trattati, e presentare sinteticamente l'origine e lo sviluppo storico dell'uso fatto di strumenti matematici nelle applicazioni riguardanti la fisica, l'economia, l'ingegneria, l'architettura e altro. Oltre alla revisione atta a migliorare il testo della precedente edizione, sono state aggiunte alcune figure e alcuni argomenti riguardanti, soprattutto, l'ultimo capitolo (diagonalizzazione di matrici e coniche nel piano proiettivo).

Questo testo vuole conciliare due esigenze: da un lato la predilezione per l'applicazione concreta, tipica dei corsi di laurea dove la matematica è una materia di servizio, e dall'altro la necessità di rendere consapevole lo studente delle ragioni cui sono soggetti i metodi che utilizza. Il libro si snoda dunque attraverso un continuo rimbalzo tra teoria e pratica, nella presentazione di un cospicuo numero di problemi svolti che comprendono gli argomenti chiave di un corso base di geometria.

La “scienza degli investimenti” è l'applicazione di strumenti scientifici, soprattutto matematici, allo studio degli investimenti, con l'obiettivo di individuarne i principi generali e metterli in pratica per giungere a decisioni migliori. Questo libro si propone come una guida seria, scientificamente fondata e dettagliata che introduce al mondo della finanza e degli investimenti. Il testo è caratterizzato da chiarezza, sintesi e capacità illustrativa ed è integrato da numerosi esempi, significativi sia sul piano pratico sia su quello didattico. Il volume è un estratto da “Finanza e investimenti”, dello stesso autore, pubblicato da Maggioli; ne comprende i primi sette capitoli più un ottavo sulle misure di rischio ed inoltre le appendici matematiche. Tali contenuti rispondono in modo preciso ed aggiornato alle esigenze dei corsi introduttivi di Matematica finanziaria nelle lauree triennali in Economia.

La statistica è ormai una disciplina quasi onnipresente: sul lavoro, nei mezzi di informazione e negli ambiti più diversi la troviamo sotto forma di grafici, tabelle, percentuali, ricerche di mercato e sondaggi d'opinione. Comprendere come funziona e imparare a metterne in pratica i processi e le tecniche significa poter disporre di un ottimo strumento di supporto, di sintesi e di analisi, in grado di decifrare e interpretare le situazioni della realtà quotidiana, di rappresentare meglio gli aspetti di un problema o di essere più efficaci nel processo decisionale. Con un percorso pensato per chi non ha mai amato la matematica e desidera un approccio "morbido" alla statistica, il testo affronta tutte le aree di maggiore interesse e approfondisce gli strumenti più significativi, spaziando dalla media aritmetica all'inferenza statistica, passando per la rappresentazione grafica e il calcolo delle probabilità, con il minor ricorso possibile alle formule matematiche. Chi poi volesse approfondire le sue competenze troverà nel volume anche delle Appendici con tutte le debite formule matematiche, per applicarsi nella risoluzione di problemi statistici.

Questo manuale di Matematica Generale è pensato per gli studenti di economia che desiderano acquisire gli strumenti matematici fondamentali per affrontare lo studio delle discipline economiche con maggiore consapevolezza e padronanza. Dopo una solida introduzione alla teoria degli insiemi, il testo guida il lettore attraverso lo studio delle funzioni, dei limiti e delle derivate, fornendo le basi per l'analisi di fenomeni economici complessi. Un'ampia parte è dedicata alla teoria dell'integrazione, utile per comprendere concetti chiave come il calcolo dell'area e l'interpretazione di dati quantitativi. I capitoli finali approfondiscono la teoria dei vettori e dei sistemi lineari, strumenti indispensabili per risolvere problemi di ottimizzazione e allocazione delle risorse. Esempi pratici e applicazioni aiutano lo studente a consolidare le conoscenze teoriche, rendendo questo volume un supporto chiaro e completo per lo studio individuale e la preparazione agli esami.

Questo volume raccoglie complessivamente 1200 problemi di massimo e minimo di cui 870 con svolgimento, i restanti 330 sono accompagnati da un risultato numerico oppure da un approccio di svolgimento. I problemi trattati, suddivisi in 9 capitoli, riguardano algebra, geometria del piano e dello spazio, trigonometria, analisi matematica (studio di una funzione, integrali, equazioni differenziali), calcolo delle probabilità, fisica (cinematica, dinamica, elettromagnetismo). Gli esercizi sono corredati da oltre 400 figure che aiutano il lettore a seguire i procedimenti esposti; spesso sono presenti più metodi risolutivi, permettendo una graduale acquisizione della capacità di scegliere le strategie più convenienti per affrontare i problemi, anche in situazioni non standard. Quando possibile, si è preferito esporre procedimenti che evitano l'uso del calcolo differenziale, facendo leva su particolari tecniche algebriche. Questo testo costituisce un utile riferimento per gli studenti del liceo scientifico, ma anche un valido supporto didattico in ambito universitario.

Il testo introduce in maniera unitaria gli insiemi successivi a quello dei numeri reali, costruendo gli elementi di tali insiemi mediante la formula di Cayley-Dickson, in modo che, ampliando opportunamente la definizione di ricorsività, potrà essere considerato ricorsivo. Analizza quindi, prima per i quaternioni e poi in generale per qualunque insieme ipercomplesso, le quattro operazioni fondamentali, evidenziando in particolare come quanto ottenuto per il prodotto di ipercomplessi immaginari permetta di superare l'apparente incongruenza tra il prodotto di due unità immaginarie uguali e il prodotto di due unità immaginarie diverse, e di definire il prodotto e il quoziente di due vettori. Affronta poi la questione della non validità, a partire dai quaternioni, del principio di permanenza delle proprietà formali di Hankel e ridefinisce le condizioni alla base della costruzione degli ampliamenti numerici; con tale ridefinizione dei criteri da rispettare, ogni insieme ipercomplesso potrà ancora essere considerato un ampliamento degli insiemi numerici precedenti. Infine, prima per i quaternioni e poi in generale per ogni insieme ipercomplesso, descrive come è possibile ottenere una partizione di tali insiemi nell'insieme R dei numeri reali, rappresentabile ovviamente su una retta, e in infiniti altri insiemi rappresentabili in piani di Gauss privati dei punti degli assi reali (ruotati l'uno rispetto all'altro intorno all'origine O); in ognuno di tali infiniti sottoinsiemi continueranno a valere tutte le proprietà formali delle operazioni valide nell'insieme C1 dei numeri complessi e pertanto si potrà operare come si opera in tale insieme.

Con questo volume proponiamo al lettore una raccolta di dimostrazioni errate. Una dimostrazione non è necessariamente corretta perché le conseguenze sono giuste o ragionevoli, come, al contrario, errori nel ragionamento logico matematico possono portare a risultati paradossali. Spesso l'errore è causato dalla voglia di dimostrare una tesi o un'idea. Nella dimostrazione dei teoremi, così come nelle discussioni di tutti i giorni, la mente umana spesso ignora alcuni fondamenti logici pur di tentare di provare le proprie convinzioni, spinta da motivazioni non razionali.