Matematica

Questa raccolta di test prepara a sostenere l'esame di Analisi matematica 1. Propone per ogni argomento una serie di domande a risposta multipla, seguita dalla discussione delle soluzioni: oltre a presentare la risposta corretta, sono esaminate anche le altre risposte, con esempi e controesempi utili a chiarire perché sono errate. L'obiettivo è insegnare a evitare gli errori tipici di chi affronta la materia per la prima volta, a distinguere tra argomenti simili quello corretto, a individuare tranelli nascosti in argomentazioni apparentemente rigorose. Anche per questo motivo, i test non sono ordinati per difficoltà crescente. Inoltre dal sito del libro è possibili accedere a 120 esercizi in formato interattivo, trasversali agli argomenti e organizzati in 10 simulazioni di compiti di esame. Gli argomenti del volume, divisi in dodici capitoli, sono: Successioni. Funzioni, campo di esistenza. Funzioni, proprietà elementari. Funzioni, limiti e continuità. Derivate e monotonia. Convessità, massimi e minimi. Simboli di Landau e formula di Taylor. Integrali. Integrali generalizzati. Serie numeriche. Equazioni differenziali. Numeri complessi.

Studiare matematica è fondamentale per comprendere le scienze della vita, perché attraverso quantificazione e modellizzazione si trovano risposte a questioni complesse. Al tempo stesso, molta matematica nasce con lo studio di fenomeni biologici: dai metodi della statistica sviluppati insieme alla sintesi moderna dell'evoluzione, alle reti neurali che stanno rivoluzionando il nostro presente. Matematica per le scienze della vita fornisce gli strumenti essenziali per descrivere matematicamente i fenomeni scientifici e prevederne lo sviluppo. Sono trattati tutti gli argomenti della matematica di base: vettori e matrici, funzioni elementari, calcolo differenziale e integrale, e, in modo più ampio in questa edizione, statistica e probabilità. Sono proposti anche argomenti più complessi, naturale prosecuzione di quelli di base, che sono di ampio uso nella pratica scientifica. I concetti sono introdotti a partire dalla descrizione dei fenomeni naturali per arrivare a comprendere come definizioni, enunciati e teoremi si applichino alla realtà, grazie anche ai numerosi esempi: gli esempi verdi, di carattere biologico, fisico, o chimico, illustrano un'applicazione reale, o realistica, di un metodo, una formula o un'idea matematica, mentre gli esempi blu, di natura strettamente matematica, servono per chiarire concetti astratti o esercitarsi nell'uso delle formule. In ogni capitolo, box approfondiscono temi scientifici, inquadrando gli argomenti matematici in un contesto più generale. Alla fine dei paragrafi ci sono esercizi che servono per verificare di aver compreso nozioni di base indispensabili e per addestrarsi a usare la matematica, ed esercizi più complessi, che stimolano la capacità di matematizzare argomenti di biologia o di altre discipline. L'opera è accompagnata da risorse digitali quali video, esercizi guidati, test interattivi, soluzioni agli esercizi del libro, disponibili sul sito, nell'Ebook e visualizzabili sullo smartphone tramite l'app laZ Guarda!.

I teoremi matematici interessano solo gli scienziati e le aule universitarie? La risposta di questo libro è: no! E infatti chi leggerà queste pagine si troverà a fare un viaggio appassionante nella storia delle teorie matematiche che hanno cambiato il mondo e che interessano chiunque. Spesso è stata l'esigenza umana di risolvere un problema apparentemente impossibile a dare l'impulso alla formulazione di alcuni dei più celebri teoremi matematici. Altre volte la loro scoperta è stata del tutto casuale o accidentale. La matematica, poi, grazie all'aiuto di altre discipline – la filosofia per prima – è stata in grado di dare un ordine al mondo, così come lo conosciamo, fornendo una spiegazione teorica a tutti i fenomeni che ci circondano. Si può quindi comprendere la bellezza con la teoria dei frattali, misurare la distanza di punti irraggiungibili con il teorema di Talete, o, ancora, calcolare in modo esatto il numero delle perdite riportate dopo una battaglia con il teorema cinese dei resti. Tramite questo libro chiunque lo voglia potrà avvicinarsi a teorie che riteneva distanti e astruse, alle curiosità che le riguardano e alle vite di chi le ha rese note.

Quando siamo bambini ci insegnano la somma e la moltiplicazione. Poi ci raccontano di sumeri, assiri e babilonesi. E nel frattempo danno per scontati concetti più importanti, come se li considerassero già consolidati nelle nostre teste, o forse solo troppo scivolosi. E se ci fossimo persi qualcosa? Se imparare a saperli usare davvero ci aiutasse a vivere meglio la realtà in cui siamo immersi? Convinto di questa tesi, il prof Vincenzo Mauro si è dato una missione: aiutarci ad addomesticare statistica e calcolo delle probabilità (diciamocelo, tra le discipline matematiche più odiate) attraverso le sue strane storie su TikTok. In questo libro ci accompagna tra gli enigmi e i misteri di queste scienze, ci parla di teoremi che hanno fatto venire alle mani la comunità scientifica, monetine che scelgono la sorte di un ragazzo (e del rock and roll), dimostrazioni da perderci la testa (e pure la vita). E poi ci spiega perché gli alieni esistono, ci mostra i lati oscuri dell'universo, e come alcune verità smettano di funzionare quando non guardiamo… Preparatevi a scoprire che la matematica ci riguarda più da vicino di quel che pensavamo. E che, se sapete come affrontarla, non è poi difficile come sembra.

La matematica è spesso percepita dagli studenti come materia astratta e lontana dalla realtà, generando difficoltà di apprendimento sin dalla scuola primaria. Questa tesi esplora il Tinkering come metodologia didattica innovativa per rendere la matematica più concreta, accessibile e inclusiva. Attraverso l’analisi dei principi pedagogici del Tinkering, si evidenzia come possa contrastare l’astrazione precoce, l’ansia da prestazione e la trasmissività della didattica tradizionale. Il lavoro si compone di un inquadramento teorico e di due casi studio pratici dedicati a geometria e frazioni, con attenzione a setting, materiali, metodi di valutazione e strategie inclusive. L’obiettivo è fornire ai docenti strumenti concreti per integrare il Tinkering nei curricula, promuovendo un apprendimento attivo e significativo della matematica.

Perché sembra sempre che l'ascensore stia scendendo quando dobbiamo salire? È proprio vero che 0,99999… con un numero infinito di 9 dopo la virgola, sia uguale a 1? Che cosa hanno in comune le foglie di tè e l'erosione dei fiumi secondo Albert Einstein? Vedere un letto di fiori rossi aiuta a dimostrare che tutti i corvi sono neri? Possiamo dare un senso a una frase come “questa affermazione è indimostrabile”? Nel rispondere a queste e molte altre domande, George Szpiro guida i lettori attraverso l'enigmatico mondo dei paradossi, dai dialoghi socratici al problema di Monty Hall, presentando sessanta enigmi controintuitivi in diversi ambiti: non solo matematica, statistica, logica e filosofia, ma anche scienze sociali, fisica, politica e religione. Per ogni paradosso viene raccontata una storia avvincente, analizzato il suo meccanismo e considerate le situazioni della vita quotidiana in cui lo si può incontrare. In definitiva, sostiene l'autore, i paradossi non sono semplici rompicapo o astrusi giochi di parole: ci sfidano ad affinare il nostro ragionamento e a diventare più attenti alle falle del pensiero comune. Una lettura che stimola la mente e invita a vedere le infinite possibilità e impossibilità del mondo con occhi nuovi.

L'opera è il percorso che l'autore ha personalmente intrapreso nel momento in cui, mentre stava studiando per sostenere l'esame del corso di Radiotecnica all'Università degli Studi di Bologna, si è imbattuto più volte nell'integrale di Gauss o di Poisson, che peraltro aveva già incontrato nei precedenti corsi di analisi matematica, e nella sua generalizzazione, consistente nell'integrale su tutti i reali della distribuzione gaussiana moltiplicata per x^n, essendo n un numero naturale. Si è poi esteso il ragionamento al caso in cui l'esponente di e (numero di Nepero) è del tipo - ax^2 + bx, essendo a e b numeri complessi non nulli con Re[a] > 0 e l'autore si è chiesto se non fosse possibile riuscire a trovare delle formule in forma chiusa che potessero consentire di calcolare tutti gli integrali di quel tipo una volta assegnati i numeri a, b e n. L'opera si conclude proprio con la dimostrazione delle formule in forma chiusa trovate dall'autore, alcune delle quali sono state da tempo pubblicate sul sito di Eric Weisstein e sono ad oggi tuttora visibili.

Questo studio analizza, dopo una breve sintesi storica, i problemi didattici connessi con l’introduzione dei concetti di frazione, numero razionale e rappresentazione decimale dei numeri. L’approccio valuta gli aspetti e le problematiche legate alle diverse modalità di introduzione di tali concetti e il loro significato immediato relativo alle conoscenze e alle convinzioni pregresse degli studenti, provando a dare suggerimenti concreti per risolvere i frequenti problemi che si generano sia in termini di “ostacolo epistemologico” sia di errori di scrittura.

Ci troviamo davanti alla «Grotta dei Diamanti», la più grande scoperta di tutti i tempi nel campo dei numeri primi. Essa racchiude la soluzione tanto attesa di decine di congetture che aspettavano da secoli di essere confermate come vere. A partire dalla risoluzione del problema matematico più tormentato da millenni: i numeri primi gemelli sono senza un limite come i singoli primi? Euclide riuscì a dimostrare l'infinità dei numeri primi ma non quella dei gemelli. Ed ecco il verdetto invocato da 23 secoli: sì, i gemelli sono infiniti! Ma la cosa più sorprendente non è tanto la risposta, che in fondo era prevista, quanto invece la semplicità estrema della dimostrazione, alla portata di un fanciullo! La scoperta della «Grotta» è infatti emersa in "terza navigazione" dove le vele della conoscenza collettiva non funzionano più e bisogna nuotare a mani nude dentro il mare della mente. La Galassia che racchiude tutto questo non ha ancora un nome ma è stata scoperta recentemente dal presente autore. Essa ingloba la totalità delle congetture di tipo k-tuple sui numeri primi in un'unica architettura madre: il pattern di ogni sequenza di primi — front-end dei coprimi privi di HOPS — verrà ripetuto eternamente (eterno ritorno), un Teorema di Ricorrenza simile a quello di Poincaré. Inoltre, miriadi di Pattern Virtuali, che non hanno mai attraversato prima il muro che li separa dal reale, possono passare, dopo un intervallo a volte smisurato, dalla sfera della Potenza all'Atto, come avviene per la Costellazione Pentax.

Il libro presenta una trattazione approfondita su temi filosofici, scientifici e metafisici, con particolare attenzione alla natura dei numeri, alla realtà e alla mente. Il testo esplora se i numeri siano un’invenzione dell’intelletto umano o una scoperta basata sull’osservazione della realtà. La tesi principale sostiene che i numeri, insieme alle loro proprietà come infinità, illimitatezza e specularità, rappresentino i caratteri fondamentali della realtà. La mente viene analizzata in relazione alla sua capacità di comprendere concetti complessi come l’infinità e l’illimitatezza, ponendo domande sulla sua natura: è il risultato del processo evolutivo ovvero proviene da una fonte esterna alla realtà? La realtà viene proposta in una visione circolare ed equilibrata degli eventi, con una causalità reciproca che sfida l’idea del tempo lineare. L’approfondimento concettuale è rigoroso e ben argomentato, con riferimenti filosofici e scientifici che arricchiscono il testo. L’uso di esempi, come l’analogia tra particelle elementari e mattoni, rende più accessibili temi complessi. Il dialogo tra filosofia e scienza è ben integrato, mostrando come entrambe possano contribuire alla comprensione della realtà.

Questa raccolta di esercizi prepara a sostenere l'esame di Analisi matematica 2 e, grazie ai richiami di teoria, può essere usata da sola o affiancare qualunque manuale. È divisa in otto capitoli: 1. Calcolo differenziale per funzioni di più variabili 2. Funzioni implicite 3. Ottimizzazione 4. Integrazione multipla 5. Linee e integrali di linea 6. Superfici e integrali di superficie 7. Successioni e serie di funzioni 8. Equazioni differenziali. Ogni capitolo è suddiviso in sezioni, ciascuna delle quali si apre con Richiami di teoria e prevede lo svolgimento preliminare di Esempi, che servono da guida alle principali tecniche risolutive. Ogni sezione propone esercizi divisi per tipologia, con soluzione alla fine del capitolo: Test a risposta multipla, Esercizi più tradizionali, domande di tipo Vero o falso e quesiti che richiedono di Trovare l'errore; concludono il capitolo Ulteriori esercizi, in genere più impegnativi e spesso di carattere teorico, le cui soluzioni sono disponibili sul sito del libro. Sandro Salsa è professore emerito di Analisi matematica presso il Politecnico di Milano. Annamaria Squellati è stata docente di Matematica presso l'Università Bocconi e il Politecnico di Milano. Le risorse digitali: universita.zanichelli.it/salsasquellati2_2e A questo indirizzo sono disponibili le risorse digitali di complemento al libro. Per accedere alle risorse protette è necessario registrarsi sumy.zanichelli.it inserendo il codice di attivazione personale contenuto nel libro. Libro con Ebook: Chi acquista il libro nuovo può accedere gratuitamente all'Ebook, seguendo le istruzioni presenti nel sito. L'accesso all'Ebook e alle risorse digitali protette è personale, non condivisibile e non cedibile, né autonomamente né con la cessione del libro cartaceo.