Matematica

I metodi numerici per i problemi ai valori iniziali trovano applicazione in molte discipline delle scienze applicate. Il presente libro di testo rappresenta una introduzione a tali metodi numerici e si presta ad essere adottato da corsi per la laurea magistrale in matematica o da corsi per i master nelle scienze applicate. Vengono introdotti i concetti fondamentali di consistenza, stabilità e convergenza di un metodo numerico. Nel caso dei metodi ad un passo, la dimostrazione del Teorema di convergenza ha una struttura semplice che ne facilita la comprensione concettuale.

L'analisi numerica è la branca della matematica che si occupa degli algoritmi e dei metodi per risolvere, in forma numerica, classi di problemi matematici. Molti algoritmi e metodi numerici portano il nome dei grandi matematici: da Archimede a Eulero, da Gauss a Newton. Infatti, studi di analisi numerica precorrono di secoli l'invenzione degli elaborati elettronici. L'indagine numerica ha oggi una valenza previsionale utile per la conoscenza del mondo.

Charles Babbage (1791-1871), matematico e scienziato poliedrico, è considerato il progenitore del computer perché progettò una macchina da calcolo meccanica e 'programmata', cioè in grado di eseguire una sequenza predeterminata di calcoli: la macchina analitica. Nella biblioteca dell'Accademia delle Scienze di Torino sono conservati i disegni e i manoscritti di Babbage pubblicati in questo volume, insieme con numerose illustrazioni e con una selezione di testi tratti dalle opere di Babbage.

La successione di Fibonacci è la configurazione numerica che si incontra più frequentemente e forse anche la più curiosa. È una configurazione incredibilmente semplice: inizia con due "1" e i numeri successivi sono sempre la somma dei due immediatamente precedenti (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21 e così via). Non si tratta però solo di una curiosità matematica: questa successione si trova spesso in natura, dall'andamento della riproduzione di api e conigli alla disposizione delle spirali sulle pigne e gli ananas. Il che offre ampio spazio alla riflessione sui rapporti fra matematica e natura. Con grande chiarezza Alfred Posamentier e Ingmar Lehmann ci guidano in una affascinante rassegna delle molte ramificazioni dei numeri di Fibonacci. Si inizia con una breve storia di Leonardo Pisano (meglio noto come Fibonacci), a cui si deve anche la diffusione dei numerali arabi in Occidente. Oltre che in natura, nell'arte, nell'architettura, nell'andamento dei mercati azionari e in altre aree della società e della cultura, Posamentier e Lehmann trovano una schiera innumerevole di casi in cui fanno la loro comparsa i numeri di Fibonacci e la sezione aurea, che a quei numeri è strettamente collegata. Postfazione di Herbert A. Hauptman.

Il testo è dedicato al secondo corso di Matematica di base dei primi anni di corso delle facoltà scientifiche e ingegneristiche. Questo libro nasce dal tentativo di trovare un equilibrio ragionevole fra astrazione e pratica, fra sintesi e banalizzazione. Da un lato è stato enfatizzato il rapporto fra l'analisi matematica e le altre scienze, riconoscendo il giusto spazio all'approfondimento delle tecniche di calcolo più utili nelle applicazioni e lasciando agio al lettore di osservare come i concetti dell'analisi matematica siano fondamentali nell'enunciazione delle leggi di base di altre discipline scientifiche e nella deduzione delle conseguenze di tali leggi. Dall'altro lato si è voluto evitare che l'esercizio meccanico di tecniche di calcolo semplificate e l'eccessiva banalizzazione dei contenuti teorici impedissero il raggiungimento di un livello di autonomia sufficiente all'elaborazione critica (o anche solo ragionata) dei concetti e delle stesse metodologie di calcolo. Si è dunque ritenuto necessario indicare al lettore la via dell'astrazione, vista però più come un processo dinamico, la cui necessità deriva dalla pratica dell'elaborazione concettuale, che come un esercizio fine a se stesso. L'opera si propone quindi l'obiettivo primario di offrire agli studenti il senso di cosa sia e a cosa serva una teoria matematica, ricomponendola, attraverso riquadri di approfondimento, esercizi teorici guidati, problemi e intermezzi storici, in una visione di unità culturale e concettuale.

Sistemi di equazioni lineari. Determinanti; Sistemi di equazioni lineari (Teoria generale); Algebra delle matrici; Numeri complessi; Polinomi e loro zeri; Forme quadratiche; Spazi vettoriali; Spazi euclidei; Calcolo degli zeri di un polinomio; Campi e polinomi; Polinomi in più determinate; Polinomi a coefficienti razionali; Forma normale delle matrici; Gruppi.

La matematica numerica è una disciplina che si sviluppa in simbiosi con il calcolatore; essa fa uso di linguaggi di programmazione che consentono di tradurre gli algoritmi in programmi eseguibili. Questo testo si propone di aiutare lo studente nella transizione fra i concetti teorici e metodologici della Matematica Numerica e la loro implementazione al computer. A questo scopo vengono proposti Esercizi teorici da risolvere con carta e penna atti a far comprendere meglio al lettore la teoria, e Laboratori, in cui per un dato problema si debbono scegliere gli algoritmi pi adatti, realizzare un programma in linguaggio MATLAB per la loro implementazione, rappresentare graficamente in maniera idonea i risultati ottenuti dal calcolatore, infine interpretarli ed analizzarli alla luce della teoria. Per ogni Esercizio ed ogni Laboratorio si presenta una risoluzione dettagliata,completata da una ampia discussione critica. Per una migliore fruizione degli argomenti sviluppati, il testo si apre con una introduzione all'ambiente di programmazione MATLAB. Il testo contiene infine alcuni progetti.

Questo testo raccoglie le note del corso di Ottimizzazione tenuto dagli autori nell'ultimo decennio presso il corso di Laurea triennale in Matematica dell'Università di Roma "La Sapienza". Il contenuto è stato ampliato, per esigenze di completezza, in alcune parti e il materiale sicuramente eccede, nella elaborazione attuale, le pure esigenze di una didattica semestrale. Le note si compongono di due parti piuttosto delineate. Nella prima, che ha il titolo indicativo di Ottimizzazione statica, si affrontano problemi di minimizzazione per funzioni obiettivo definite in spazi Euclidei finito-dimensionali, in presenza o meno di vincoli. Nella seconda, detta Ottimizzazione dinamica, una tematica per alcuni versi simile è trasportata nello spazio infinito dimensionale delle curve che sono soluzioni di una equazione differenziale in cui appare un parametro chiamato controllo. Questa parte può essere vista come un'introduzione, in un quadro il più semplice possibile, alla Teoria del Controllo, di cui è scontato sottolineare la rilevanza nella modellistica di vari campi, dall'economia all'ingegneria, alla biologia.