Matematica

Questo manoscritto è rivolto agli studenti del quinto anno degli istituti superiori e agli universitari che si apprestano a sostenere l'esame di analisi matematica 1. Il testo contiene sia le lezioni teoriche, tenute dall'autore nelle classi quinte sezione C del Liceo Scientifico di San Severo (FG), sia 1000 esercizi e problemi dettagliatamente risolti. Argomenti trattati: Insiemi numerici; Funzioni; Limiti e Continuità; Successioni numeriche; Derivate e Differenziali; Teoremi fondamentali sulle funzioni derivabili, massimi, minimi, flessi; Studio di funzioni; Integrale indefinito; Integrale definito, calcolo di aree, volumi e applicazioni alla fisica.

Cos'hanno gli Stati Uniti in comune con Liberia e Birmania? Che cosa differenzia un incidente nucleare da un semplice guasto? Quanto è lunga una pista d'atletica? Perché talvolta possiamo dire che, tipicamente, un uomo è alto un metro? Che senso ha approssimare la forma di un animale a una sfera? Perché la temperatura percepita non è una temperatura? Siamo letteralmente circondati da numeri e formule. Che si tratti del nostro IMC (indice di massa corporea), del numero di calorie che consumiamo abitualmente in un mese, o del punteggio ottenuto dal nostro atleta preferito alle ultime Olimpiadi, sapersi relazionare con quantità e misure è ormai divenuta una parte fondamentale della nostra quotidianità. In questo libro, Göran Grimvall ci insegna a muoverci con facilità in un mondo in cui saper stimare un ordine di grandezza o interpretare correttamente dati e grafici è essenziale per riuscire a tenersi informati non solo in ambito scientifico, ma anche in aree all'apparenza molto distanti, come l'economia e lo sport.

Che aspetto ha una curva che riempie l'intero piano o tutto lo spazio? Si può muovere un poliedro flessibile fino a scambiarne interno ed esterno? Che cosa sono il piano proiettivo o lo spazio quadridimensionale? Esistono bolle di sapone non sferiche? Come si può capire la complicata struttura dei vortici e delle correnti? In questo libro, il lettore potrà fare esperienze di matematica soprattutto dal punto di vista visivo, confrontandosi con immagini affascinanti, molte delle quali pubblicate per la prima volta, che forniscono risposte illustrate alle domande poste qui sopra. Ogni immagine è accompagnata da una breve spiegazione, da molti riferimenti bibliografici e da moltissime indicazioni di letture in rete. Il volume è diretto a tutti gli amici della matematica - studenti, insegnanti, appassionati e matematici di professione che non vogliano sfogliare soltanto un testo arido o un elenco infinito di formule. I lettori impareranno così a conoscere la matematica da un punto di vista nuovo e colorato.

Vi siete chiesti anche voi perché i numeri sono disposti in quella sequenza nella ruota della roulette? Giocate al Lotto ogni settimana inseguendo i numeri ritardatari... E ancora, avreste mai pensato che la matematica possa svelare quanto è forte il caffè, o che esista una formula per determinare se il nostro guardaroba è davvero fornito? Nel suo fare matematica, Giovanni Filocamo sembra accogliere lo spirito delle Lezioni americane di Italo Calvino: il suo racconto della matematica ha i pregi semplici della leggerezza, della rapidità nel passare agile e disinvolto da una divagazione all'altra, ma sempre pronto a ritrovare il filo, dell'esattezza (numerica, certo, ma anche nel rendere nitide le sfumature del pensiero), della visibilità - la capacità di pensare per immagini e veder scaturire, a occhi chiusi, numeri dalle forme - e, infine, della molteplicità: ogni oggetto è visto dal matematico curioso come il centro di una rete di relazioni da seguire, fino ad abbracciare l'intero universo. Alla fine Filocamo trascina il lettore in una cavalcata sfrenata e divertente nella matematica di tutti i giorni, con un acuto spirito di osservazione e la capacità di rintracciare strutture, ordine e metodo nella vita quotidiana.

Per le esigenze del calcolo digitale i modelli matematici devono essere approssimati con «procedure puramente aritmetiche» grazie a «metodi iterativi o per passi successivi». Con queste parole, intorno al 1950, Herman Goldstine e John von Neumann segnalavano l'importanza degli algoritmi iterativi nel calcolo scientifico su grande scala. Essi osservavano pure che, a causa dell'elevata mole dei calcoli, i metodi computazionali sono condizionati da ciò che è effettivamente realizzabile nel tempo e nello spazio di un processo automatico. Da qui nasceva un nuovo orientamento di ricerca basato sull'analisi della complessità dei problemi numerici. Oggi iterazione e complessità sono diventati una chiave per rispondere a due quesiti fondamentali: che cosa, in generale, può essere automatizzato? E come si possono risolvere i più diversi problemi della matematica applicata, ad esempio quelli posti dalla fluidodinamica e dall'elaborazione di immagini, dall'apprendimento automatico e dai motori di ricerca su rete? Questo libro si propone di attraversare uno dei settori più ardui e intricati della scienza del calcolo in una prospettiva originale: si combinano sistematicamente complessità e iterazione e si esplorano i percorsi che legano, per diverse teorie, le motivazioni originarie ai risultati più recenti. A realizzare la fusione tra analisi numerica e teoria della complessità, già prevista nei primi anni settanta, servono ora, soprattutto, le trasformate veloci e le matrici sparse o con speciale struttura che provengono da modelli matematici o che vengono inserite artificialmente nel calcolo. Da queste matrici dipende infine l'efficienza degli algoritmi iterativi per calcolare il minimo di funzioni e per risolvere sistemi di equazioni lineari e non lineari di grandi dimensioni.

Quest'anno ricorrono i 150 anni dalla nascita di Corrado Segre, nato a Saluzzo il 20 agosto 1863. Fondatore della Scuola italiana di geometria algebrica, Segre ha lasciato un'impronta duratura sulla matematica italiana attraverso la sua opera e quella dei suoi allievi, matematici tutti di alta levatura scientifica. Per celebrare la ricorrenza l'Accademia delle Scienze e l'Università e il Politecnico di Torino organizzano due esposizioni di documenti, una presso l'Archivio Storico dell'Università di Torino sulla carriera accademica di Segre, e una presso l'Accademia delle Scienze dedicata ai più importanti fra i 40 quaderni di lezione manoscritti conservati presso la Biblioteca Matematica Giuseppe Peano, di cui il presente libro rappresenta il catalogo.

Con la pubblicazione dell'opera monumentale "Non-standard Analysis", avvenuta nel 1965, Abraham Robinson dà solide basi logiche all'esistenza di quegli infinitesimi e infiniti così genialmente intuiti da Leibniz, che tuttavia non riuscì a comporli in una teoria consistente. Robinson supera queste incertezze e costruisce un nuovo sistema di numeri reali come espansione dei numeri reali standard, nel quale trovano posto le entità molto piccole e molto grandi. Robinson si cimenta anche nel campo delle matematiche applicate suggerendo la conclusione, sorretta da un'importante affermazione di Kurt, riportata dall'autore che fornisce una migliore descrizione dei fenomeni osservabili. Questo testo è stato arricchito da note e approfondimenti che ne facilitano la lettura.

È difficile pensare alla matematica come a una disciplina in continua evoluzione. La scienza esatta per eccellenza, immutabile dai tempi di Newton, o persino di Euclide, non sembra poter ammettere al suo interno ricerca o mutamento alcuno. Lo scopo di Devlin è sfatare questo luogo comune, mostrando in quali direzioni inaspettate si sia mossa la ricerca matematica negli ultimi decenni. Il panorama è ampio e differenziato: ad argomenti classici, come il teorema di Fermat e i frattali, l'autore affianca qui settori meno conosciuti della disciplina, come i «gruppi finiti semplici», la «funzione zeta di Riemann» o altri affascinanti oggetti matematici, resi magistralmente accessibili anche al lettore munito solo di un bagaglio essenziale di conoscenze. Scritto da un matematico con grandi doti di divulgatore, Dove va la matematica colma la distanza tra il linguaggio della ricerca e il bisogno di informazione del pubblico, in un'epoca in cui la matematica sembra permeare di sé, con i suoi metodi e i suoi modelli, tutto il discorso scientifico e non solo.