Matematica

Esercizi e giochi di algebra lineare e geometria con temi d'esame svolti. Negli ultimi anni i ripetuti cambiamenti degli ordinamenti di studi universitari hanno forzato i docenti dei corsi di Matematica per la laurea in Ingegneria del Politecnico di Torino, in particolare i docenti di Geometria, ad una revisione profonda sia dei contenuti dei corsi, sia del loro approccio espositivo, sia delle tecniche di verifica dell'apprendimento. Inevitabilmente, un tale periodo di continua transizione ha provocato anche un certo disorientamento fra gli studenti alla ricerca di materiale per la preparazione dell'esame di Geometria. Il presente testo nasce proprio in conseguenza alla pressante richiesta di nuovi manuali che tengano conto di tali cambiamenti. Esso contiene temi d'esame risolti, esercizi con caccia all'errore, giochi, per la maggior parte svolti in dettaglio. È da notare, però, che l'approccio adottato nella presentazione delle soluzioni è sempre improntato al massimo coinvolgimento del lettore e alla stimolazione delle sue capacità di critica e di analisi.

Gli occhi di Cédric Villani brillano dello scintillio quasi febbrile di chi ha trovato la sfida della vita: la dimostrazione che lo tormenta, la soluzione che gli sfugge. Insieme al suo complice Clément Mouhot la insegue per più di due anni, fino a quando, nel 2010, la medaglia Fields lo consacra nell'Olimpo dei matematici mondiali e il nuovo teorema viene accettato per la pubblicazione: cento pagine di un edificio meraviglioso costruito con le geometrie dei simboli. Questo libro è la storia di quell'avventura. Il racconto di una sfida, di viaggi e notti insonni, di ossessioni, rivalità, rivincite e ispirazioni. Villani ripercorre una caccia matematica che lo porta da Kyoto a New York, da Princeton a Hyderabad, in corsa contro il tempo e i ricercatori concorrenti. Parla dei suoi maestri Boltzmann, Poincaré e Landau, della musica che l'ha spronato, del conforto della famiglia. E di quel momento di lucida esaltazione in cui "tutto sembra concatenarsi come per incantesimo". Entriamo così nella mente di un genio capace di contagiare con il suo entusiasmo e di trasformare la matematica in un mondo abitato dalla passione, dall'avventura e dal mistero. Un universo parallelo di cui non abbiamo mai sospettato l'esistenza e che scopriamo, guidati da Cédric Villani, come affascinati esploratori. Anche se la realtà è più complessa e la ricerca non è mai finita: "Ciò che oggi scriviamo sulla lavagna" diceva il Galileo di Brecht, "domani lo cancelleremo".

Questo libro deriva dai corsi tenuti da vari anni dall'autore presso l'Università del Salento e la Seconda Università degli Studi di Napoli. Esso si propone di fornire un'introduzione ai concetti e ai metodi dell'algebra moderna a partire dalla teoria dei numeri. In questa nuova edizione si è aggiunto nel quarto capitolo un paragrafo concernente le azioni di un gruppo su un insieme con un'applicazione alla dimostrazione del famoso teorema di Sylow. Inoltre, la parte riguardante i polinomi è stata ampliata con un capitolo introduttivo alla teoria di Galois. Il testo è corredato da più di duecento esercizi, molti dei quali completamente risolti. Fra essi se ne trovano alcuni assegnati alle Olimpiadi della matematica degli ultimi anni. Per le sue caratteristiche il volume è particolarmente adatto agli studenti di quei corsi di laurea, quali ad esempio matematica e matematica e informatica, in cui è previsto un insegnamento introduttivo di algebra. D'altra parte la scelta degli argomenti lo rende utilizzabile anche in quei corsi di laurea in cui si ha comunque l'esigenza di conoscere e applicare le nozioni di base dell'algebra.

Questo volume nasce dall'esperienza maturata dagli Autori in oltre 10 anni di insegnamento presso la Facoltà di Ingegneria dell'Università di Firenze. Gli argomenti trattati vanno dalle funzioni di una variabile complessa a problemi di approssimazione nel senso dei minimi quadrati, serie e trasformate di Fourier, trasformate di Laplace per concludere con elementi iniziali della teoria delle equazioni differenziali alle derivate parziali e coprono le esigenze della maggior parte dei Corsi di Laurea in Ingegneria. Per facilitare la comprensione degli argomenti il testo è completato da numerosi esempi e da esercizi il cui svolgimento è però lasciato al lettore.

I numeri fanno parte della nostra vita, siamo costretti a ricordarne molti, sono presenti in ogni campo della conoscenza umana. Li usiamo nelle nostre relazioni, nel nostro tempo libero, nella nostra economia, nella nostra salute. Tra i numeri ci sono numeri più o meno importanti. I numeri primi hanno avuto nella storia della matematica sempre un grande fascino. Matematici eccelsi li hanno studiati, cercato di capire il loro enigma. Questo libro propone di conoscerli e di capirli in modo semplice, non convenzionale, trattandoli da amici. In fondo anche loro non sono altro che un insieme simpatico di numeri.

Ruota, trasla e... rifletti: su che cosa? Su quale e quanta matematica pervade la nostra quotidianità. Sull'importanza che questa disciplina riveste nell'istruzione primaria. Questa breve raccolta di problemi di geometria si propone come spunto di riflessione su alcuni temi di geometria euclidea, presentando, in particolare, questioni legate alle trasformazioni geometriche. Per consentire di mettersi alla prova nella ricerca delle soluzioni anche ai lettori che non hanno ancora (o non hanno più) troppa familiarità con gli strumenti della geometria, questi vengono via via introdotti ex-novo rendendo il testo praticamente autosufficiente. Rimangono da mettere in campo solo fantasia e buoni ragionamenti.

Nel corso dell'era moderna si è andata consumando una progressiva divaricazione che vede, da una parte, la cosiddetta "cultura umanistica", dall'altra il pensiero scientifico. La prima, necessariamente aperta alla complessità dei significati del vivere e dell'esistenza umana, non può evitare, anche suo malgrado, di misurarsi con le grandi domande poste dalla metafisica. Il secondo, vincolato alle esigenze dell'oggettività e del rigore formale, rischia di rinunciare alla significanza dei suoi oggetti fondanti. Al culmine di questo processo, il Neopositivismo di primo Novecento sembrava porre la questione in termini di netta e inconciliabile antitesi. Ma è proprio così? Può la Scienza crescere e dare risposte alle nostre domande, senza essere essa stessa partecipe del substrato significativo del nostro vivere? E, in caso contrario, in che modo essa può mantenere rigore e oggettività, distinguendosi dalla dimensione "mitica" con cui necessariamente interagisce? A queste e a molte altre domande il libro cerca di rispondere attraversando, come in un viaggio simbolico, le differenti regioni del sapere scientifico, dalle sue lontane origini, alle più recenti acquisizioni.