Matematica

Fascicolo inteso come guida per l'esercitazione dell'esame scritto di LAG. Grazie ai quiz a risposta multipla, è possibile testare la propria preparazione, confrontando le risposte nella tabella delle soluzioni.

Nel 1930 i teoremi di incompletezza di Kurt Gödel cambiarono il corso della filosofia della scienza. La dimostrazione per cui in una teoria soddisfacente certe condizioni minime è possibile costruire una proposizione che non può essere né dimostrata né confutata all'interno della teoria rappresenta uno dei cardini del pensiero scientifico. L'annuncio dei due teoremi al convegno di Königsberg, dedicato all'epistemologia e alle scienze esatte, infranse il sogno di Leibniz, quel "calcolemus" che doveva risolvere qualsiasi controversia. Una nuova logica fatta anche di antinomie e paradossi si era ormai imposta.

«L'uomo parla perché è sociale ed è sociale perché parla. Tuttavia, l'uomo che parla in generale non si avvede che prima pensa.» Sembra una scienza fredda. Sembra una scienza asettica. Sembra complessa al limite dell'incomprensibile, se si esclude qualche mente geniale più unica che rara. È la matematica, la regina delle scienze e l'incubo di un sacco di studenti, l'implacabile ed imparziale giustiziera della realtà e il sogno proibito di chiunque voglia creare qualcosa che sia destinato a durare. È la matematica, l'imprescindibile e misteriosa custode dei più reconditi segreti dell'esistenza, eppure chiara e trasparente in modo così maledettamente disarmante. Ma come è possibile che una disciplina all'apparenza così netta e precisa possa intrecciarsi con la filosofia in modo tanto fluido e armonioso? Dipende tutto dall'angolazione da cui si osserva. In questo diventa prezioso il libro di Carlo Ghiringhelli, un saggio divulgativo alla portata di tutti, utile per aiutarci a trovare la posizione migliore da cui guardare questa danza tra i numeri della matematica e le riflessioni della filosofia.

Uno dei più grandi inventori di tutti i tempi, soprattutto nel campo dell'elettricità e dell'elettromagnetismo, fu Nikola Tesla, genio croato, vissuto nel 1800. Scienziato quasi del tutto dimenticato dai posteri. Personalità eccentrica, egli amava i numeri divisibili per 3, in particolare il tre, il sei e il nove, tanto che gli venne attribuita la frase: "Se tu conoscessi la magnificenza del tre, del sei e del nove, potresti avere la chiave per l'universo". Per i suoi contemporanei Tesla soffriva di ossessione compulsiva, per alcuni era addirittura un folle. L'autore di questo libro vuole dimostrare, attraverso alcune operazioni aritmetiche, con lo sguardo rivolto alle cifre dei numeri, che non era un folle. Tesla aveva visto giusto. Dato un numero primo non si può conoscere quello successivo: qui si indaga sulla possibilità di prevedere qualche carattere nella distanza tra i numeri primi. In questo libro sono presenti anche idee del tutto originali e stravaganti, come la stazione ferroviaria con i tre ingressi per la partenza dei treni dei numeri, l'orologio numerico, la riduzione alla minima comune distanza dei prodotti dei numeri e quella delle radici.

Il contesto dei problemi e dei modelli presenti in questo libro di “consulenze”, deriva sia dall'esperienza didattica, sia dall'esperienza professionale dell'autore ed è pensato per corsi di base di Probabilità e Statistica, con uno sguardo ai corsi più avanzati. Alcuni sono poco più che esercizi, altri, più complessi, possono avere una valenza teorica, altri ancora trattano di situazioni reali o realistiche (ciclo produttivo, tecnologia, ecologia, gioco, misure, materiali, gestione, etc.). I problemi presentati sono suddivisi in aree, in riferimento al modello: binomiale/geometrica, Poisson/esponenziale, normale, uniforme, vettori aleatori, modelli lineari. Si conclude con un'Area (“Area...51”) che raccoglie alcuni dei problemi più... ”radioattivi”.

Per molti lettori un libro sulla matematica e sul modo in cui viene insegnata, sui suoi contenuti e sulla sua didattica, non può non richiamare alla mente i ricordi di un passato scolastico più o meno lontano; e spesso si tratta di ricordi dolorosi, segnati da un rapporto conflittuale, difficile - talvolta traumatico - con la disciplina. Questo probabilmente perché, ormai da tempo, nelle aule scolastiche la matematica è stata confinata a materia tecnica, importante più per le sue presunte applicazioni pratiche o per i suoi supposti rapporti con il mondo reale che per il suo valore squisitamente intellettuale. O perché ridotta a un insieme di definizioni, di formule, di regole da mandare a memoria e da applicare acriticamente, senza interrogarsi sul loro significato. Eppure, come ci invita a fare Riccardo Giannitrapani in "Un labirinto incerto", basterebbe provare a metterle in discussione, queste regole, a smontarle per capire come funzionano, per scoprire che cosa c'è dentro. Allora vedremmo non solo la trama nascosta che ne giustifica l'adozione, ma anche le intuizioni e le visioni, gli inciampi, le incertezze e i fallimenti da cui sono scaturite, e soprattutto la bellezza vertiginosa dei panorami inattesi che esse dischiudono, i sentieri nascosti che ci chiedono di percorrere. Così, muovendo dal terreno confortevole di quel che crediamo che sia o debba essere la matematica - per molti una «scienza esatta», e quindi necessariamente arida e inflessibile, se non addirittura noiosa - potremmo liberarci dai luoghi comuni e cominciare a seguire altri percorsi, meno scontati e rassicuranti, quelli del labirinto, appunto. Potremmo così interrogarci sulla natura ontologica degli enti matematici o sulla relazione tra la matematica e le scienze del mondo fisico, oppure indagare la forma dei numeri o il concetto di infinito, o ancora il rapporto fra i numeri, il tempo e lo spazio. O verificare la sorprendente vicinanza tra matematica e poesia, e scoprire come entrambe siano impegnate a rappresentare un mondo altro, non quotidiano e non necessario, e a tradurlo in parola, in simboli capaci di svelarne tutta la complessità e la bellezza. Dal labirinto incerto della matematica, naturalmente, è possibile uscire. A condizione, però, di non essere lasciati soli. Ed è questo il compito a cui oggi è chiamata la scuola: aiutare chi si confronta con la matematica a trasformare gli errori in curiosità, i fallimenti in opportunità didattica. Per non smarrirsi per sempre, per superare l'angoscia del labirinto, per imparare a sbagliare e a ricominciare.

Il presente volume offre una originale applicazione degli strumenti geostatistici nel dominio temporale, al fine di affrontare problematiche di stima in condizione di interpolazione, oltre che di estrazione. Nel testo vengono inoltre analizzate ed utilizzate le metodologie per lo studio di fenomeni spaziali rilevati per entità areali.

Oggi, in un mondo dominato da meme, fake news, tweet di 140 caratteri, dibattiti televisivi in cui si impone chi grida più forte, quale spazio resta per il ragionamento logico, la riflessione, la razionalità? La logica sembra ormai dominio esclusivo dei matematici, che la usano per esplorare una realtà astratta e inaccessibile ai più. Ma è davvero così? Davvero non ci si può affidare a questo strumento fondamentale dell'intelletto per navigare con sicurezza nel confuso mondo umano? In questo suo nuovo saggio Eugenia Cheng ci mostra che non è così, che la logica può essere la base per discutere in maniera costruttiva di questioni assolutamente reali e scottanti, come la discriminazione razziale, le molestie sessuali o l'assistenza sanitaria universale. Per farlo è necessario conoscere i rudimenti del ragionamento logico, ma non basta: la logica rigorosa stabilisce solo ciò che è vero e ciò che non lo è all'interno di un sistema fondato su un insieme di assiomi, distingue il bianco dal nero, non conosce quelle «zone grigie» che sono ovunque nella vita reale. Perché non sia divisiva, perché serva a conciliare concezioni diverse invece che a estremizzare le contrapposizioni, la logica va sposata a quella dimensione umana imprescindibile che è la sfera emotiva. Cheng ci spiega come il connubio tra logica ed emozioni possa renderci non semplicemente razionali (anche i computer lo sono), ma capaci di quella razionalità intelligente che è forse la caratteristica più nobile della nostra natura di uomini.

Intorno a noi, ogni cosa è in movimento: l'Universo in espansione fin dal remoto istante del Big Bang e le sfere celesti in fuga per le loro orbite ellittiche; gli oceani agitati dai venti e gli aerei nel loro frenetico andirivieni; la lava che cola lungo le pendici di un vulcano e il cuore che con il suo battito accompagna ogni istante della nostra vita. Eppure, la natura profonda del moto è da sempre inafferrabile. Duemilacinquecento anni fa, il crudele Zenone (così lo definì Paul Valéry) elaborò uno dei suoi celebri paradossi secondo cui, spezzettando il tempo e lo spazio infinite volte, Achille piè veloce non raggiungerebbe mai la lenta tartaruga. Il suo pensiero non cessa di porci domande dall'ardua risposta: il tempo e lo spazio sono continui, come li percepiamo intuitivamente? O sono il risultato di unità discrete, simili a un filo di perle, come li restituiscono gli strumenti di misurazione? Zenone, un po' come la tartaruga, era in anticipo sul suo tempo. Da allora, filosofi e scienziati si interrogano su spazio, tempo e movimento, fenomeni familiari e insieme sfuggenti. Da Galileo a Einstein, dalla fisica quantistica all'iperspazio, non si contano i tentativi di colmare il divario tra i modelli matematici e la tessitura della realtà. Col suo tocco nitido ed elegante, ricco di aneddoti, dimostrazioni scientifiche e suggestioni letterarie, Joseph Mazur traccia in questo volume una vera e propria storia del moto. Leggendolo ci imbattiamo in un Newton pensoso che, seduto all'ombra di un melo, comprende che i pianeti attraggono le mele quanto le mele attraggono i pianeti; viaggiamo alla velocità della luce nei meandri del calcolo infinitesimale, della teoria delle stringhe, del dualismo onda-particella. E scopriamo gli aspetti più misteriosi di un fenomeno che abita tanto i microspazi degli atomi quanto le ampie architetture del cosmo: il movimento.

Nel campo tecnico-scientifico molte decisioni sono supportate da misurazioni. Ma per poter decidere correttamente è importante assegnare ai risultati di misura il loro effettivo significato. Ciò è soprattutto importante, ed espressamente richiesto, quando si opera in Sistemi Qualità. In tal caso la gestione delle misure e prove deve essere rigorosa, e può trovare un concreto supporto negli argomenti qui trattati, per l'attenzione posta a curare insieme la correttezza sostanziale e l'eliminazione di vincoli inutili. Giulio Barbato, Alessandro Germak e Gianfranco Genta sono docenti di “Statistica sperimentale e Misure Meccaniche” ed “Experimental Statistics and Mechanical Measurement” presso il Politecnico di Torino.